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Lexikon der Mathematik: Bernstein, Satz von, über Minimalflächen

lautet:

Jede auf ganz2definierte und zweimal stetig differenzierbare Funktion f (u, v), für die die Fläche mit der expliziten Flächengleichung Φ (u, v) = (u, v, f (u, v)) eine Minimalfläche ist, istlinear, also vonder Form f(u, v) = au+bv+c.

Der Satz ist eine Aussage über die Nichtexistenz von nichttrivialen Minimalflächen, die Graphen von auf ganz ℝ2 definierten differenzierbaren Funktionen sind. Er besagt in äquivalenter Formulierung, daß als Lösungen der partiellen nichtlinearen Differentialgleichung \begin{eqnarray}\frac{\partial }{\partial u}(\frac{{f}_{u}}{\sqrt{1+{f}_{u}^{2}+}{f}_{\upsilon }^{2}})+\frac{\partial }{\partial \upsilon }(\frac{{f}_{\upsilon }}{\sqrt{1+{f}_{u}^{2}+{f}_{\upsilon }^{2}}})=0,\end{eqnarray}die auf ganz ℝ2 definiert sind, nur die linearen Funktionen in Frage kommen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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