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Lexikon der Mathematik: Bernstein, Satz von, über Taylorreihen

1914 von S.N.Bernstein gefundener Satz, der besagt, daß für eine auf einem abgeschlossenen Intervall definierte beliebig oft differenzierbare Funktion, deren Ableitungen gleichmäßig nach unten beschränkt sind, die Taylor-Reihe um jeden Punkt aus dem rechtsoffenen Intervall in einer geeigneten Umgebung des Punktes konvergiert und die Funktion darstellt. Genauer gilt:

Ist − ∞< a0 < a1 < ∞, und gibt es ein s ∈ ℝ so, daß für die beliebig oft differenzierbare Funktion \begin{eqnarray}f:[{a}_{0},{a}_{1}]\to {\rm{{\mathbb{R}}}}\end{eqnarray} die Ungleichung \begin{eqnarray}{f}^{(n)}(x)\ge s\end{eqnarray} gilt für alle x ∈ [a0, a1] und n ∈ ℕ0, dann konvergiert für jedes a ∈ [a0, a1) die Taylor-Reihe T(f, a)(x) von f für alle x ∈ [a0, a1) mit \begin{eqnarray}|x-a|\lt {a}_{1}-x,\end{eqnarray} und es gilt \begin{eqnarray}T(f,a)(x)=f(x).\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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