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Lexikon der Mathematik: Bernsteinsche Ungleichungen

Abschätzungen für die Ableitungen trigonometrischer und algebraischer Polynome. Die erste Bernsteinsche Ungleichung stellt eine Beziehung her zwischen der Ableitung eines trigonometrischen Polynoms und dessen Maximumnorm.

Es sei \({T}_{n}(x)={a}_{0}+{\sum }_{v=1}^{n}{a}_{v}\,\cos (vx)+{b}_{v}\,\sin (vx)\)ein trigonometrisches Polynom n-ten Grades. Dann gilt: \begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{x\in [0,2\pi ]}|{T}_{n}^{\text{'}}(x)|\le n\cdot \mathop{\max }\limits_{x\in [0,2\pi ]}|{T}_{n}(x)|.\end{eqnarray}

Dagegen stellt die zweite Bernsteinsche Ungleichung eine Beziehung her zwischen der Ableitung eines algebraischen Polynoms und dessen Maximumnorm.

Es sei Pn(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0ein algebraisches Polynom n-ten Grades. Dann gilt für alle x aus dem offenen Intervall (a, b): \begin{eqnarray}|{P}_{n}^{\text{'}}(x)|\le \frac{n}{\sqrt{(x-a)(b-x)}}\cdot \mathop{\max }\limits_{t\in [a,b]}|{P}_{n}(t)|.\end{eqnarray}

Mit Hilfe dieser Ungleichungen lassen sich Aussagen über die Approximationsgüte trigonometrischer sowie algebraischer Polynome herleiten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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