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Lexikon der Mathematik: Bernsteinsche Vermutung

von S. N. Bernstein im Jahre 1914 aufgestellte Vermutung innerhalb der Approximationstheorie.

Bezeichnet man mit En(f) den Fehler bei der besten Approximation einer Funktion f auf dem Intervall [−1, 1] durch Polynome vom Grad n, so konnte Bernstein zeigen:

Es existiert eine Konstante β,

0.278 < β < 0.286,

so daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\mu \to \infty }2n{E}_{n}(|x|)=\beta .\end{eqnarray}

Bernstein formulierte die Vermutung, daß \begin{eqnarray}\beta =\frac{1}{2\sqrt{\pi }}.\end{eqnarray}

Diese wurde im Jahre 1985 durch hochgenaue Berechnungen von R. Varga und A. Carpenter widerlegt. Der exakte Wert von β ist jedoch bis heute nicht bekannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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