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Lexikon der Mathematik: Bernsteinscher Approximationsoperator

ein linearer Operator, der jeder stetigen reellen Funktion ein Polynom zuweist.

Es sei f eine auf dem Intervall [0, 1] stetige Funktion und \(n\in {\mathbb{N}}\). Dann heißt \begin{eqnarray}{B}_{n}(f,x):=\sum _{v=0}^{n}(n\\ v)f(\frac{v}{n}){x}^{v}{(1-x)}^{n-v}\end{eqnarray}

Bernsteinscher Approximationsoperator. Es gilt \begin{eqnarray}{B}_{n}(1,x) & = & 1,\\ {B}_{n}(t,x) & = & x,\\ {B}_{n}({t}^{2},x) & = & {x}^{2}+\displaystyle \frac{x-{x}^{2}}{n},\end{eqnarray}woraus man schließen kann, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n-\infty }\Vert {B}_{n}(f,x)-f(x)\Vert =0\end{eqnarray}ist. Der Bernsteinsche Approximationsoperator spielt daher eine entscheidende Rolle in neueren Beweisen des Weierstraßschen Approximationssatzes. Verallgemeinerungen für den multivariaten Fall gibt es ebenfalls.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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