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Lexikon der Mathematik: Berry-Esséen, Satz von

liefert eine Ungleichung, die zur Abschätzung der Konvergenzgeschwindigkeit im zentralen Grenzwertsatz verwendet werden kann.

Seien X1, …, Xnunabhängig identisch verteilte reelle Zufallsvariablen mit Erwartungswert μ und Varianz 0 < σ2< ∞.

Ist E(X1μ|3) < ∞, so existiert eine von der Verteilung der Xiunabhängige Konstante C, so daß für die Verteilungsfunktion \({F}_{{S}_{n}^{\ast }}\)der standardisierten Summe \begin{eqnarray}{S}_{n}^{\ast }:=\frac{{\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\end{eqnarray}gilt \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{x}|{F}_{{S}_{n}^{\ast }}(x)-{\rm{\Phi }}(x)|\le C\frac{E({|{X}_{1}-\mu |}^{3})}{{\sigma }^{3}\sqrt{n}},\end{eqnarray}

wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Die Konstante C wurde im Laufe der Zeit mehrfach verfeinert und kann heute zu \begin{eqnarray}{(2\pi )}^{-1/2}\le C\lt 0,7655\end{eqnarray}abgeschätzt werden. Auch eine allgemeinere Form des Satzes, die auf die Voraussetzung der identischen Verteilung der Xi verzichtet, wurde von Esséen bewiesen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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