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Lexikon der Mathematik: Bertini, Satz von

Aussage über die Glattheit oder den Zusammenhang von Divisoren.

Der Ausdruck „für fast alle“ bedeuted im folgenden: „Bis auf eine nirgends dichte Zariskiabgeschlossene Teilmenge“. Dann lautet der Satz:

  • Ist \(V\subset {{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n}(k)\)glatte projektive algebraische Varietät, so ist für fast alle Hyperebenen H der (schematheoretische) Durchschnitt HV glatt.
  • Ist \(V\subset {{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n}(k)\)eine glatte projektive algebraische Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k der Charakteristik 0, und istein Linearsystem auf V ohne Basispunkte, so sind fast alle Divisoren ausglatt. Wenn„nicht aus einem Büschel zusammengesetzt“ ist, so sind die Divisoren auszusammenhängend.
  • Dabei heißt „nicht aus einem Büschel zusammengesetzt“, daß d = dim ∧ > 1, und der zu ∧ gehörige Morphismus \(V\to {\wedge }^{v}\simeq {{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{d}(k)\) nicht über eine algebraische Kurve faktorisiert.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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