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Lexikon der Mathematik: Bertrand-Puiseux, Formel von

Diguet, Formel von, drückt die Gaußsche Krümmung k einer Fläche \( {\mathcal F} \subset {{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{3}\) durch die Differenz der Umfänge eines ebenen Kreises und eines geodätischen Abstandskreises vom Radius r aus:

Für jeden Punkt \(P\in {\mathcal F} \)gilt \begin{eqnarray}k(P)=\frac{3}{\pi }\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 0}\frac{2\,\pi \,r-l(r)}{{r}^{3}},\end{eqnarray} wobei l(r) die Länge des geodätischen Abstandskreises mit dem Mittelpunkt P und dem Radius r ist.

Eine andere Beschreibung dieses Zusammenhangs zwischen Gaußscher Krümmung und der inneren Geometrie der Fläche gibt die Taylorentwicklung dritter Ordnung der Funktion l(r): \begin{eqnarray}l(r)=2\,\pi \,r-\frac{\pi }{3}{r}^{3}k(P)+\ldots.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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