eine Aussage zur Frage: Wann „kommt“ die nächste Primzahl?

Etwas präziser formuliert lautet das Bertrandsche Postulat:

Für jede natürliche Zahl n > 3 enthält das (offene) Intervall (n, 2n − 2) eine Primzahl.

Bertrand bemerkte anhand einer Primzahltafel, daß für jede Zahl n > 3 mit n ≤ 3 000 000 eine Primzahl p zwischen n und 2n − 2 existiert; er vermutete, daß dies für beliebige Zahlen n > 3 so ist.

Das Betrandsche Postulat wurde später von Tschebyschew bewiesen.

Mit Hilfe des Primzahlsatzes erhält man eine wesentlich schärfere Aussage für große n:

Zu jedem ϵ > 0 gibt es ein N(ϵ) derart, daß für jedes n ≥ N(ϵ) das Intervall \begin{eqnarray}(n,(1+\varepsilon )n)\end{eqnarray}eine Primzahl enthält.

Da sich aus dem Primzahlsatz nicht ohne weiteres ein Hinweis auf die Größenordnung von N(ϵ) gewinnen läßt, ist oft versucht worden, mit elementaren Mitteln Verschärfungen zu erzielen. So kann man z. B. beweisen, daß es zu jedem n ≥ 24 eine Primzahl p mit \begin{eqnarray}n\lt p\lt \frac{11}{9}n\end{eqnarray}gibt.