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Lexikon der Mathematik: Beschleunigung

im verallgemeinerten Sinne die Ableitung \({\mathfrak{b}}\) einer differenzierbaren Abbildung \begin{eqnarray}{\mathfrak{v}}:{{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{1}\supset I\to TU\subset T{\rm{ {\mathcal M} }}\end{eqnarray} eines Intervalls I aus \({{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{1}\)in eine Umgebung TU des Tangentialbündels Tℳ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ℳ.

I wird dann als Zeitintervall bezeichnet, \({\mathfrak{v}}\) heißt Geschwindigkeit. \({\mathfrak{b}}(t)\)ist die Beschleunigung zum Zeitpunkt tI oder im Punkt \({\mathfrak{s}}(t)\in {\rm{ {\mathcal M} }}\).

In der Kinematik wird die Beschleunigung zu einer Kurve in einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit z. B. in bezug auf ein begleitendes n-Bein zerlegt. Im dreidimensionalen euklidischen Raum etwa wird es aus Tangential-, Hauptnormal- und Binormalvektor gebildet. Die Beschleunigungskomponente in Richtung der Tangente heißt Tangentialbeschleunigung.

Die Komponente der Beschleunigung in Richtung der Hauptnormalen heißt Normalbeschleunigung. Zeichnet man im dreidimensionalen euklidischen Raum einen Punkt als Ursprung aus und zeichnet den Verbindungsvektor vom Ursprung zu einem Kurvenpunkt (Radiusvektor), dann nennt man die Beschleunigungskomponente in dieser Richtung die Radialbeschleunigung.

Erfolgt die Bewegung in einer Ebene des dreidimensionalen euklidischen Raums, dann ist der Winkel zwischen einem ausgezeichneten und einem beliebigen Radiusvektor eine Funktion der Zeit. Die zweite Ableitung dieser Funktion wird Winkelbeschleunigung genannt.

Erfolgt eine Bewegung unter Zwang (Führung), dann nennt man die dieser Kraft entsprechende Beschleunigung auch Führungsbeschleunigung.

Vom Standpunkt der Beobachtung läßt sich Bewegung nur relativ zu einem Bezugssystem (Realisierung eines Koordinatensystems) feststellen. Man spricht daher von Relativbewegung und insbesondere von Relativbeschleunigung.

Beispielsweise zeichnen die Newtonschen Axiome im dreidimensionalen Raum eine Klasse von Koordinatensystemen (Intertialsysteme) aus. Ein Koordinatensystem, das sich gegen ein Inertialsystem dreht, ist kein Inertialsystem. Bewegt sich ein Körper gleichförmig auf einer Geraden in bezug auf ein Inertialsystem, so gilt das nicht mehr bezüglich des sich drehenden Systems. Relativ zum Inertialsystem wirken keine Kräfte auf den Körper. In diesem System bewegt er sich unbeschleunigt. Das ist nicht so relativ zum drehenden System. Ein gegen ein Inertialsystem rotierendes System ist in Näherung durch die rotierende Erde gegeben. Vernachlässigen wir die Erdanziehung (Gravitation), dann wirkt auf einen im Intertialsystem ruhenden Körper relativ zur Erde eine Kraft in Richtung Radiusvektor (Zentrifugalbeschleunigung).

Bewegt sich im Inertialsystem ein Körper auf einem Kreisbogen vom Nordpol zum Äquator, dann wirkt bezüglich der Erde auf ihn eine Kraft, die ihn nach Westen zwingt (Coriolis-Kraft). Die Berücksichtigung der Erdanziehung kompliziert den Bahnverlauf.

Im Schwerefeld der Erde (Vernachlässigung der Rotation, der annähernden Kugelgestalt und variierenden Entfernung von der Erdoberfläche in Laborexperimenten) wirkt auf einen Massenpunkt eine Kraft, die ihm eine konstante Erdbeschleunigung erteilt. Sie beträgt etwa 9,81m/s2. Allgemein nennt man die durch Schwere hervorgerufene Beschleunigung Schwerebeschleunigung. Berücksichtigt man beim Fallen im Schwerefeld der Erde die bremsende Reibung durch die Luft, dann ergibt sich die Fallbeschleunigung statt der Erdbeschleunigung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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