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Lexikon der Mathematik: beschränkte mittlere Oszillation

eine Eigenschaft der Randwerte gewisser im offenen Einheitskreis 𝔼 holomorpher Funktionen.

Die genaue Definition erfordert etwas Vorbereitung. Zunächst sei g : 𝕋 := ∂𝔼 → ℂ eine Lebesgueintegrierbare Funktion, d.h. gL1(𝕋). Für einen Kreisbogen I ⊂ 𝕋 betrachtet man den Mittelwert \begin{eqnarray}{a}_{I}:=\frac{1}{|I|}\mathop{\int }\limits_{I}g(\varsigma )|d\varsigma |,\end{eqnarray}wobei |I| die Länge des Bogens bezeichnet. Die Funktion g heißt von beschränkter mittlerer Oszillation, falls \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{I}\frac{1}{|I|}\mathop{\int }\limits_{I}|g(\varsigma )-{a}_{I}||d\varsigma |\lt \infty,\end{eqnarray}wobei das Supremum über alle Bögen I ⊂ 𝕋 gebildet wird. Man schreibt auch kurz g ∈ BMO(𝕋).

Nun sei f : 𝔼 → ℂ im Hardy-Raum H1 und f*L1(𝕋) die zugehörige Randfunktion. Man sagt, daß f ∈ BMOA, falls f* ∈ BMO(𝕋).

Zum Beispiel ist jede beschränkte Lebesgue-meßbare Funktion g : 𝕋 → ℂ in BMO(𝕋), d. h. L (𝕋) ⊂ BMO(𝕋).

Jedoch gibt es auch unbeschränkte Funktionen in BMO(𝕋), nämlich \begin{eqnarray}g(\varsigma ):=\,\mathrm{log}\,|(1+\varsigma )/(1-\varsigma )|.\end{eqnarray}

Entsprechend gilt H ⊂ BMOA, und \begin{eqnarray}f(z):=\,\mathrm{log}\,[(1+z)/(1-z)]\,\,\,\,\,\,\,\,(z\in {\mathbb{E}})\end{eqnarray} ist eine unbeschränkte Funktion in BMOA.

Allgemeiner gilt: Ist f eine in 𝔼 schlichte Funktion und af (𝔼), so ist log (fa) ∈ BMOA. Weiter gilt BMOA ⊂ ℬ, BMOA = ℬ, wobei ℬ der Raum der Bloch-Funktionen ist.

Außerdem betrachtet man noch die Räume VMO(𝕋) und VMOA. Für gL1(𝕋) und δ > 0 sei \begin{eqnarray}{M}_{g}(\delta ):=\mathop{\sup }\limits_{|I|\lt \delta }\frac{1}{|I|}\mathop{\int }\limits_{I}|g(\varsigma )-{a}_{I}||d\varsigma |.\end{eqnarray}

Gilt g ∈ BMO(𝕋) und limδ→0Mg(δ) = 0, so heißt g von verschwindender mittlerer Oszillation. Man schreibt auch kurz g ∈ VMO(𝕋). Ist fH1 und f* ∈ VMO(𝕋), so ist f ∈ VMOA.

Es gibt eine Charakterisierung von BMOA und VMOA durch schlichte Funktionen in 𝔼. Dazu sei Γ eine rektifizierbare Jordankurve und für w1, w2 ∈ Γ sei l(w1, w2) die Länge des kürzeren Bogens auf Γ von w1 nach w2. Die Kurve Γ heißt quasiglatt, falls es eine Konstante c > 0 gibt derart, daß für alle w1, w2 ∈ Γ gilt \begin{eqnarray}l({w}_{1},{w}_{2})\le c|{w}_{1}-{w}_{2}|.\end{eqnarray}

Sie heißt asymptotisch glatt, falls \begin{eqnarray}l({w}_{1},{w}_{2})/|{w}_{1}-{w}_{2}|\to 1\end{eqnarray}für |w1w2| → 0. Mit diesen Bezeichnungen gilt:

Es sei f eine in 𝔼 holomorphe Funktion. Dann ist f ∈ BMOA bzw. f ∈ VMOA genau dann, wenn f = α log h′ mit einer Konstanten α ∈ ℂ und einer konformen Abbildung h von 𝔼 auf ein Gebiet G, dessen Rand ∂G eine quasiglatte bzw. asymptotisch glatte Jordankurve ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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