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Lexikon der Mathematik: beschränktes lineares Funktional

eine lineare stetige Abbildung eines normierten Vektorraumes nach ℝ bzw. ℂ.

Es sei V ein reeller oder komplexer normierter Vektorraum. Eine lineare Abbildung L : V → ℝ bzw. L : V → ℂ heißt ein lineares Funktional. Das Funktional heißt beschränkt, falls es ein c > 0 gibt, so daß für alle xV gilt: |L(x)| ≤ c ·‖x‖. Äquivalent dazu ist die Bedingung, daß für alle x aus der Einheitskugel um den Nullpunkt von V eine Abschätzung der Form |L(x)| ≤ c gilt. Man kann in diesem Fall auch das Funktional selbst mit einer Norm versehen, indem man ‖L‖ = supx=1‖|L(x)| setzt. Dadurch wird auch die Menge der beschränkten linearen Funktionale auf einem normierten Vektorraum wieder zu einem normierten Vektorraum.

Ein lineares Funktional ist genau dann beschränkt, wenn es als Abbildung zwischen metrischen Räumen stetig ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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