Lexikon der Mathematik: Besow-Raum
Raum von Funktionen gebrochener Glattheitsordnung.
Sei f : ℝn → ℂ eine Funktion. Die iterierten Differenzen sind induktiv durch
(h > 0, r ∈ ℕ) definiert.
Für 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, s > 0 besteht der Besow-Raum \({B}_{p,q}^{s}\)aus allen f ∈ Lp(ℝn), für die (mit einer natürlichen Zahl k > s)
Ist p = q = 2, stimmt \({B}_{p,q}^{s}\) mit dem Sobolew-Raum Hs (= Wm,2 für ganzzahlige s = m) überein, jedoch nicht für andere Werte von p und q. Die Besow-Räume interpolieren zwischen Lp und den Sobolew-Räumen Wm,p im Sinn der reellen Interpolationsmethode, denn es gilt für s = ϑm, 0 < ϑ < 1,
Ist 0 < α < 1, stimmt \({B}_{\infty,\infty }^{\alpha }\) mit dem Hölder-Raum Cα überein; allgemeiner ist \({B}_{\infty,\infty }^{m+\alpha }={C}^{m,\alpha }\) für m ∈ ℕ, 0 < α < 1 (Funktionenräume). Für α = 1 trifft das allerdings nicht zu. Analog werden Besow-Räume auf Gebieten Ω ⊂ ℝn erklärt.
Besow-Räume können auf vielfältige Weise charakterisiert werden. Eine solche Charakterisierung ist
Die Besow-Räume sind eng mit den Triebel-Lizorkin-Räumen \({F}_{p,q}^{s}\) verwandt (p < ∞). Diese sind ähnlich wie in (2) durch
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