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Lexikon der Mathematik: Besow-Raum

Raum von Funktionen gebrochener Glattheitsordnung.

Sei f : ℝn → ℂ eine Funktion. Die iterierten Differenzen sind induktiv durch \begin{eqnarray}{{\rm{\Delta }}}_{h}^{(1)}f(x)=f(x+h)-f(x), & {{\rm{\Delta }}}_{h}^{(r+1)}={{\rm{\Delta }}}_{h}^{(1)}{{\rm{\Delta }}}_{h}^{(r)}\end{eqnarray}

(h > 0, r ∈ ℕ) definiert.

Für 1 ≤ p ≤ ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, s > 0 besteht der Besow-Raum \({B}_{p,q}^{s}\)aus allen fLp(ℝn), für die (mit einer natürlichen Zahl k > s) \begin{eqnarray}|f{|}_{p,q,s}={(\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{n}}{\Vert |h{|}^{-s}{{\rm{\Delta }}}_{h}^{(k)}f\Vert }_{{L}^{p}}^{q}\frac{dh}{|h{|}^{n}})}^{1/q}\lt \infty \end{eqnarray} im Fall q < ∞, bzw. \begin{eqnarray}|f{|}_{p,\infty,s}=\mathop{\sup }\limits_{h\ne 0}|h{|}^{-s}\parallel {{\rm{\Delta }}}_{h}^{(k)}f{\parallel }_{{L}^{p}}\lt \infty \end{eqnarray} ausfällt. Bis auf Äquivalenz von Halbnormen hängt die Größe in (1) nicht von der Wahl von k ab. Die Norm des Besow-Raums ist \begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{p,q,s}={\Vert f\Vert }_{{L}^{p}}+|f{|}_{p,q,s};\end{eqnarray}in dieser Norm ist \({B}_{p,q}^{s}\)ein Banachraum.

Ist p = q = 2, stimmt \({B}_{p,q}^{s}\) mit dem Sobolew-Raum Hs (= Wm,2 für ganzzahlige s = m) überein, jedoch nicht für andere Werte von p und q. Die Besow-Räume interpolieren zwischen Lp und den Sobolew-Räumen Wm,p im Sinn der reellen Interpolationsmethode, denn es gilt für s = ϑm, 0 < ϑ < 1, \begin{eqnarray}{({L}^{p},{W}^{m,p})}_{\vartheta,q}={B}_{p,q}^{s}\end{eqnarray}inklusive der Äquivalenz der Normen.

Ist 0 < α < 1, stimmt \({B}_{\infty,\infty }^{\alpha }\) mit dem Hölder-Raum Cα überein; allgemeiner ist \({B}_{\infty,\infty }^{m+\alpha }={C}^{m,\alpha }\) für m ∈ ℕ, 0 < α < 1 (Funktionenräume). Für α = 1 trifft das allerdings nicht zu. Analog werden Besow-Räume auf Gebieten Ω ⊂ ℝn erklärt.

Besow-Räume können auf vielfältige Weise charakterisiert werden. Eine solche Charakterisierung ist \begin{eqnarray}{B}_{p,q}^{s}=\{f\in {S}^{^{\prime} }({{\mathbb{R}}}^{n}):{(\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }{\Vert {2}^{js}{ {\mathcal F} }^{-1}({\varphi }_{j} {\mathcal F} f)\Vert }_{{L}^{p}}^{q})}^{1/q}\lt \infty \}\end{eqnarray} mit der üblichen Modifikation für q = ∞; hier sind die ϕj beliebig oft differenzierbare Funktionen mit Σj ϕj = 1 und \begin{eqnarray}{\rm{supp}}\,{\varphi }_{j}\subset \{x:{2}^{j}\le |x|\le {3.2}^{j}\}\end{eqnarray} für j ≥ 1, und ℱ bezeichnet die Fourier-Transformation temperierter Distributionen. (2) eröffnet die Möglichkeit, Besow-Räume auch für p < 1, q < 1 oder s ≤ 0 zu definieren; man erhält dann Quasi-Banachräume.

Die Besow-Räume sind eng mit den Triebel-Lizorkin-Räumen \({F}_{p,q}^{s}\) verwandt (p < ∞). Diese sind ähnlich wie in (2) durch \begin{eqnarray}{F}_{p,q}^{s}=\{f\in S^{\prime} ({{\rm{{\mathbb{R}}}}}^{n}):{\Vert \sum _{j=0}^{\infty }|{2}^{js}{ {\mathcal F} }^{-1}({\varphi }_{j} {\mathcal F} f){|}^{q}\Vert }_{{L}^{p}}^{1/q}\lt \infty \}\end{eqnarray}erklärt. Speziell ist \({F}_{p,2}^{0}={L}^{p}\) und \({F}_{p,2}^{m}={W}^{m,p}\) für natürliche m und p > 1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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