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Lexikon der Mathematik: Bessel-Funktionen

wichtige spezielle Funktionen, die wie folgt definiert werden können.

Man unterscheidet Bessel-Funktionen der ersten und der zweiten Art.

Bessel-Funktionen der ersten Art sind die durch das Integral

\begin{eqnarray}{J}_{\nu }(z) & \sim & \displaystyle \frac{{(z/2)}^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}\,(-\nu \notin {\mathbb{N}}),\\ {Y}_{0}(z) & \sim & -i{H}_{0}^{(1)}(z)\sim i{H}_{0}^{(2)}\sim (2/\pi )\mathrm{ln}z,\\ {Y}_{\nu }(z) & \sim & -i{H}_{\nu }^{(1)}(z)\sim i{H}_{\nu }^{(2)}(z)\\ & \sim & \displaystyle \frac{1}{\pi {(z/2)}^{\nu }}\Gamma (\nu )\,(\mathrm{Re}\nu \gt 0).\end{eqnarray}

Es gilt ferner die folgende Reihenentwicklung für Jν:

\begin{eqnarray}{J}_{\nu }(z)={(z/2)}^{\nu }\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\displaystyle \frac{{(-\displaystyle \frac{1}{4}{z}^{2})}^{k}}{k!\Gamma (\nu +k+1)}.\end{eqnarray}

Neben der zur Definition verwendeten Integraldarstellung findet man auch noch folgende Darstellungen:

\begin{eqnarray}{J}_{\nu }(z) & = & \frac{1}{\pi }\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (z\sin \vartheta -\nu \vartheta )d\vartheta -\frac{\sin \pi \nu }{\pi }\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-z\sinh t-\nu t}{dt},\\ {Y}_{\nu }(z) & = & \frac{1}{\pi }\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sin (z\sin \vartheta -\nu \vartheta )d\vartheta -\frac{1}{\pi }\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}({e}^{\nu t}+{e}^{-\nu t}\cos \nu \pi ){e}^{-z\sinh t}{dt},\\ {H}_{\nu }^{(1)}(z) & = & \frac{1}{\pi i}\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty +\pi i}{\int }}{e}^{z\sinh t-\nu t}{dt},\\ {H}_{\nu }^{(2)}(z) & = & -\frac{1}{\pi i}\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty +\pi i}{\int }}{e}^{z\sinh t-\nu t}{dt}.\end{eqnarray}

Die folgenden Rekursionsformeln verknüpfen die Bessel-Funktionen unterschiedlicher Ordnung:

\begin{eqnarray}{f}_{\nu -1}(z)+{f}_{\nu +1}(z) & = & \displaystyle \frac{2\nu }{z}{f}_{\nu }(z),\\ {f}_{\nu -1}(z)+{f}_{\nu +1}(z) & = & 2{{f}^{^{\prime} }}_{\nu }(z),\\ {{f}^{^{\prime} }}_{\nu }(z) & = & {f}_{\nu -1}(z)-\frac{\nu }{z}{f}_{\nu }(z),\\ {{f}^{^{\prime} }}_{\nu }(z) & = & -{f}_{\nu +1}(z)+\frac{\nu }{z}{f}_{\nu }(z),\end{eqnarray}

wobei hier fν eine der Funktionen Jv, Yν, \({H}_{\nu }^{(1)}\) oder \({H}_{\nu }^{(2)}\) sein kann.

Es gilt ferner das Multiplikationstheorem, das die Bessel-Funktionen von einem Vielfachen des Argumentes in einer Summe von Bessel-Funktionen anderer Ordnung ausdrückt:

\begin{eqnarray}{f}_{\nu }(\lambda z)={\lambda }^{\pm z}\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\frac{{(\mp 1)}^{k}{({\lambda }^{2}-1)}^{k}{(z/2)}^{k}}{k!}{f}_{\nu \pm k}(z)\end{eqnarray}

für |λ2 − 1| < 1. Das Multiplikationstheorem gilt in dieser Form für fν = Jν, Yν oder \({H}_{\nu }^{(1)}\) und \({H}_{\nu }^{(2)}\). Insbesondere kann für den Fall Jν und die obere Wahl der Vorzeichen die Beschränkung auf |λ2 − 1| < 1 auch entfallen.

Entsprechend gelten auch Additionstheoreme, die die Bessel-Funktionen einer Summe in Summen von Bessel-Funktionen entwickeln. Das folgende ist Neumanns Additionstheorem, wieder mit der gleichen Konvention fν = Jν, Υν, \({H}_{\nu }^{(1)}\) oder \({H}_{\nu }^{(2)}\):

\begin{eqnarray}{f}_{\nu }(u\pm \upsilon )=\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}_{\nu \mp k}(u){J}_{k}(\upsilon )\end{eqnarray}

für |υ| < |u|. Die Einschränkung |υ| < |u| darf für den Fall fν = Jν und ν ∈ ℕ0 auch entfallen. Weitere Additionstheoreme findet man z. B. in [1].

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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