Lexikon der Mathematik: bestimmtes Integral
liefert den Flächeninhalt der Fläche, die von der x-Achse, den Geraden x = a, x = b und dem Graphen einer Funktion f begrenzt wird. Dabei seien −∞ < a < b < ∞ und f : [a, b] → ℝ beschränkt.
Der unterhalb der x-Achse liegende Anteil wird jeweils mit negativem Vorzeichen versehen:
Vorzeichenverteilung
Die Funktion f heißt integrierbar (über [a, b]) genau dann, wenn es ein A ∈ ℝ gibt mit:
Zu jedem ϵ > 0 existieren eine natürliche Zahl n sowie
\begin{eqnarray}a={x}_{0}\lt {x}_{1}\lt \cdots \lt {x}_{n}=b,\end{eqnarray}
uν, oν ∈ ℝ mit uν ≤ f(x) ≤ oν für xv−1 ≤ x ≤ xν, ν = 1,…,n, und\begin{eqnarray}U:=\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}{u}_{\nu }({x}_{\nu }-{x}_{\nu -1})\le A\le \\ \le \displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}{o}_{\nu }({x}_{\nu }-{x}_{\nu -1})=:O\end{eqnarray}
und O – U ≤ ϵ.Ein solches U heißt Untersumme, O Obersumme. Das obige A ist eindeutig bestimmt, man schreibt
\begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx:=A.\end{eqnarray}
Diese Bezeichnungsweise – (bestimmtes) Integral von f über [a, b], genauer Riemann-Integral, auch eigentliches Riemann-Integral – geht auf Gottfried Wilhelm Leibniz (1675) zurück.Das Integralzeichen \(\int \) ist aus einem stilisierten S (für Summe) hervorgegangen. Für manche Dinge wäre beispielsweise die Notierung \(\displaystyle {\int }_{a}^{b}f\) sinnvoller, insbesondere da die,Variable‛ x keine Rolle spielt und somit durch irgendeine andere Variable ersetzt werden kann.
Die Funktion f bezeichnet man auch als Integrand, a und b als untere bzw. obere (Integrations-) Grenze und [a, b] als Integrationsintervall.
Ober- und Untersummen
Zur Veranschaulichung betrachte man die Abbildung. Der gesuchte Flächeninhalt ist in diesem Beispiel mindestens so groß wie die Summe der Flächen der acht nicht schraffierten Rechtecke
\begin{eqnarray}(\displaystyle \sum _{\nu =1}^{8}{u}_{\nu }({x}_{\nu }-{x}_{\nu -1})=U)\end{eqnarray}
und höchstens so groß wie diese Summe vermehrt um die Summe der Flächeninhalte der acht schraffierten Rechtecke\begin{eqnarray}(U+\displaystyle \sum _{\nu =1}^{8}({o}_{\nu }-{u}_{\nu })({x}_{\nu }-{x}_{\nu -1})=O).\end{eqnarray}
Durch die gegebene Unterteilung ist der gesuchte Flächeninhalt bis auf die O − U, die Summe der Flächeninhalte der acht schraffierten Rechtecke, bestimmt.Wichtigstes Hilfsmittel zur Berechnung bestimmter Integrale ist der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, der die Möglichkeit der Auswertung über Stammfunktionen zeigt.
Damit sind beispielsweise die Substitutionsregeln und die Regel der partiellen Integration auch für das bestimmte Integral zugkräftige Hilfsmittel.
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