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Lexikon der Mathematik: Beta-Funktion

Eulersche Beta-Funktion, definiert durch

\begin{eqnarray}B(w,z):=\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{w-1}{(1-t)}^{z-1}{dt}\end{eqnarray}

für w, z ∈ ℂ, mit Re w > 0, Re z > 0. Diese Funktion heißt auch Eulersches Integral 1. Art.

Die Formel (1) heißt Integraldarstellung der Beta-Funktion. Bei festem w (bzw. z) ist B eine holomorphe Funktion von z (bzw. w). Es existieren u. a. folgende weitere Integraldarstellungen für die Beta-Funktion: (Re (z) > 0, Re (w) > 0):

\begin{eqnarray}B(z,w) & = & \displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{t}^{z-1}}{{(1+t)}^{z+w}}{dt}\\ & = & 2\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2z-1}t{\cos }^{2w-1}t{dt}.\end{eqnarray}

Ebenso wie die Eulersche Γ-Funktion zur Fakultät verknüpft ist, kann die Beta-Funktion als eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten verstanden werden. Es gilt nämlich:

\begin{eqnarray}B(n-k+1,k+1)=\frac{1}{n+1}{(n\\ k)}^{-1}\end{eqnarray}

für n, k ∈ ℕ0. Das Hauptresultat der Theorie der Beta-Funktion ist die Eulersche Identität

\begin{eqnarray}B(w,z)=\frac{\Gamma (w)\Gamma (z)}{\Gamma (w+z)},\end{eqnarray}

wobei Γ die Eulersche Γ-Funktion bezeichnet. Zwei nützliche Formeln sind

\begin{eqnarray}B(w,z) & = & 2\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{(\sin \varphi )}^{2w-1}{(\cos \varphi )}^{2z-1}d\varphi \\ & = & \displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{{s}^{w-1}}{{(1+s)}^{w+z}}ds,\end{eqnarray}

sowie die Symmetrierelationen

\begin{eqnarray}B(z,w)=B(w,z).\\ B(z,w)=\displaystyle \frac{w-1}{z+w-1}B(z,w-1).\end{eqnarray}

Die unvollständige Beta-Funktion ist definiert durch

\begin{eqnarray}{B}_{x}(w,z):=\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{w-1}{(1-t)}^{z-1}dt,\end{eqnarray}

wobei 0 < x < 1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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