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Lexikon der Mathematik: Beta-Verteilung

das für p > 0, q > 0 durch die Wahrscheinlichkeitsdichte (Beta-Funktion)

\begin{eqnarray}f:(0,1)\backepsilon\rm{x}\to \frac{\Gamma (p+q)}{\Gamma (p)\Gamma (q)}{x}^{p-1}{(1-x)}^{q-1}\in {{\mathbb{R}}}^{+}\end{eqnarray}

definierte Wahrscheinlichkeitsmaß Beta(p, q).

Die zugehörige Verteilungsfunktion ist

\begin{eqnarray}F:(0,1)\backepsilon\rm{x}\to \frac{\Gamma (p+q)}{\Gamma (p)\Gamma (q)}{B}_{x}(p,q)\in [0,1],\end{eqnarray}

wobei \({B}_{x}(p,q)=\displaystyle {\int }_{0}^{x}{t}^{p-1}{(1-t)}^{q-1}{dt}\) die unvollständige Beta-Funktion bezeichnet.

Besitzt die Zufallsvariable X eine B(p, q)-Verteilung, so gilt für den Erwartungswert \(E(X)=\frac{p}{p+q}\) und für die Varianz

\begin{eqnarray}\text{Var}(X)=\frac{{pq}}{{(p+q)}^{2}(p+q+1)}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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