Anzahl der Elemente unendlicher Ordnung in einer Basis einer endlich erzeugten abelschen Gruppe.

Es sei G eine abelsche Gruppe. Dann heißt ein Erzeugendensystem \({\mathscr{A}}\) von G eine Basis von G, falls man jedes Element x ∈ G, x ≠ 1, eindeutig als Produkt \(x={a}_{1}^{{p}_{1}}\cdot {a}_{2}^{{p}_{2}}\cdots {a}_{n}^{{p}_{n}}\) darstellen kann, wobei 0 < p_i ord(a_i) gilt. Ist G eine endlich erzeugte abelsche Gruppe, so besitzt G eine endliche, das heißt aus endlich vielen Elementen bestehende Basis. Die Elemente dieser Basis können von endlicher oder von unendlicher Ordnung sein.

Dann heißt die Anzahl der Elemente unendlicher Ordnung in einer Basis von G die Betti-Zahl der Gruppe G.