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Lexikon der Mathematik: Beweis

logische Operation, die unter Zuhilfenahme von allgemein akzeptierten Gedankengängen aus schon gegebenen Voraussetzungen neue Erkenntnisse gewinnt.

Die in mathematischen Beweisen benutzten Schlüsse müssen logisch korrekt sein, d. h., sie müssen von wahren Voraussetzungen zu wahren Behauptungen führen. Die mathematische Logik präzisierte den Beweisbarkeitsbegriff, indem sie inhaltlich geführte mathematische Beweise in kleinste Bausteine zerlegte. Dazu wurde zunächst die Gültigkeit von formalisierten Aussagen in algebraischen Strukturen definiert, gewisse unbeweisbare Grundkenntnisse (Axiome) an den Anfang gestellt und mit Hilfe logisch korrekter Operationen aus den Grundkenntnissen und evtl. weiteren angenommenen Voraussetzungen neue Kenntnisse hergeleitet. Zu den Grundkenntnissen gehören fundamentale mengentheoretische Annahmen (Axiome der Mengenlehre), die die klassische Mathematik benötigt, und logische Axiome, die geeignet sind, die klassische Mathematik zu begründen.

Ein Beweis im Sinne der mathematischen Logik ist eine endliche Folge (ϕ1,…,ϕn) von formalen Ausdrücken einer zugrundegelegten Sprache, wobei die Folgeglieder gewissen Bedingungen genügen. Für jedes Glied ϕi des Beweises gilt eine der folgenden Bedingungen:

  • ϕi ist ein logisches Axiom, oder
  • ϕi ist eine dem Beweis zugrundegelegte Voraussetzung, d. h., ϕi ∈ Σ, wobei Σ die Menge der Voraussetzungen ist, unter denen der Beweis geführt werden soll, oder
  • ϕi ist eine direkte Konsequenz vorhergehender Folgeglieder, d.h, ϕi wird mit Hilfe zuvor fixierter formaler Beweisregeln aus Folgegliedern ϕi mit j < i erhalten (z. B. mit Hilfe der Abtrennungsregel).

Ist Σ eine Menge von Ausdrücken (Voraussetzungen) und (ϕ1,…,ϕn) ein Beweis, der nur die Voraussetzungen aus Σ benutzt, und ist ϕn = ϕ, dann heißt (ϕ1,…,ϕn) Beweis für ϕ aus Σ.

In der Mathematik hat man im Laufe der Zeit eine Fülle effizienter Beweismethoden entwickelt. Man vergleiche hierzu auch Beweistheorie.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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