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Lexikon der Mathematik: Bézier-Fläche

meist über einem dreieckigen Parametergebiet bezüglich einer Basis aus verallgemeinerten Bernstein-Polynomen definierte Fläche.

Zu jedem Tripel (i1, i2, i3) aus der Indexmenge

\begin{eqnarray}I=\{({i}_{1},{i}_{2},{i}_{3})\in {{\mathbb{N}}}_{0}^{3};{i}_{1}+{i}_{2}+{i}_{3}=n\}\end{eqnarray}

sei ein Kontrollpunkt \({b}_{({i}_{1},{i}_{2},{i}_{3})}\in {{\mathbb{R}}}^{d}\) vorgegeben. Weiterhin bezeichne \({B}_{({i}_{1},{i}_{2},{i}_{3})}^{n}\) das verallgemeinerte Bernstein-Polynom n-ten Grades zu diesem Index.

Dann ist die zugehörige Bézier-Fläche definiert als die Abbildung

\begin{eqnarray}B(P)=\displaystyle \sum _{({i}_{1},{i}_{2},{i}_{3})\in I}{b}_{({i}_{1},{i}_{2},{i}_{3})}{B}_{({i}_{1},{i}_{2},{i}_{3})}^{n}(P),\end{eqnarray}

wobei P das zugrundegelegte dreieckige Parametergebiet durchläuft.

Diese Fläche besitzt die convex-hull-property, und kann mit einer Verallgemeinerung des de Casteljau-Algorithmus ausgewertet werden.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Bézier-Fläche
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Bézierflâche über einem dreieckigen Parametergebiet mit ihrem Bézier-Netz

In manchen Fällen betrachtet man auch Bézier- Flächen über rechteckigen Parametergebieten. Diese Bézier-Tensorprodukt-Flächen mit Kontrollpunkten bij ∈ ℝ d, i = 0,…,n, j = 0,…,m, sind durch

\begin{eqnarray}B(u,\upsilon )=\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{b}_{ij}{B}_{i}^{n}(u){B}_{j}^{m}(\upsilon )\end{eqnarray}

definiert, wobei die Funktionen \({B}_{i}^{m}\) Bernstein-Polynome darstellen. Man spricht auch von einer Bézierfläche über einem rechteckigen Parametergebiet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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