Typus von Gleichungen in der Riemannschen Geometrie.

Das Vorliegen dieser Identitäten beschreibt eine Eigenschaft des Riemannschen Krümmungstensors R einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g).

Ist ∇ die kovariante Ableitung in (M, g), so gelten die erste und die zweite Bianchi-Identität

\begin{eqnarray}R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=\text{}0\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}{\nabla }_{X}R(Y,Z)+{\nabla }_{Y}R(Z,X)+{\nabla }_{Z}R(X,Y)=0,\end{eqnarray}

wobei X, Y, Z drei beliebige Vektorfelder auf M sind. Man nennt auch (1) die algebraische und (2) die differentielle Bianchi-Identität.

In einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit beliebigem affinem Zusammenhang ∇ und Torsionstensor T(X, Y) gelten für den Krümmungstensor die allgemeineren Gleichungen

\begin{eqnarray}{\mathfrak{G}}\{R(X,Y)Z\}={\mathfrak{G}}\{T(T(X,Y),Z)+({\nabla }_{X}T)(Y,Z)\}\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}{\mathfrak{G}}\{({\nabla }_{X}T)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\}=0,\end{eqnarray}

in denen unter \({\mathfrak{G}}\) die zyklische Summe zu verstehen ist, die man durch

\begin{eqnarray}{\mathfrak{G}}(f(X,Y,Z))=f(X,Y,Z)+f(Y,Z,X)+f(Z,X,Y)\end{eqnarray}

definiert. Daraus folgen die beiden Bianchi-Identitäten für jeden torsionsfreien Zusammenhang.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die sog. verjüngte Bianchi-Identität benutzt, um die Gültigkeit der Gleichung \({T}_{;j}^{ij}=0\) zu beweisen, wobei in der dort üblichen Notation das Semikolon die kovariante Ableitung bedeutet.

Diese Gleichung kann man sowohl als relativistische Form der Energie- und Impuls-Erhaltungssätze interpretieren, als auch als Bewegungsgleichungen für Teilchen im Gravitationsfeld. Da die Bianchi-Identitäten eine rein geometrische Gleichheit darstellen, hat man damit gezeigt, daß sich die genannten physikalischen Größen im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie geometrisieren lassen.