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Lexikon der Mathematik: biholomorphe Abbildung

Abbildung von großer Bedeutung beim Studium holomorpher Funktionen unter geometrischen Gesichtspunkten.

Eine Abbildung f : UV zwischen den Bereichen U und V in ℂ, heißt biholomorph, wenn sie bijektiv ist und sowohl f als auch f—1 holomorphe Funktionen sind.

Analog zur reellen Analysis beweist man den folgenden Satz:

Die Abbildung f : UV ist genau dann biholomorph, wenn gilt: f ist holomorph, bijektiv, f— 1ist stetig, und auf ganz U ist f′ ≠ 0. Dann ist

\begin{eqnarray}{({f}^{-})}^{^{\prime} }(w)=\frac{1}{{f}^{^{\prime} }(z)}mit\text{}w=f(z).\end{eqnarray}

Eine holomorphe Funktion f auf einem Bereich U ⊂ ℂ ist genau dann lokal biholomorph, insbesondere lokal umkehrbar stetig, wenn f′ keine Nullstelle hat.

Eine Abbildung zwischen Gebieten in der Ebene ist genau dann lokal biholomorph, wenn sie winkel- und orientierungstreu ist. Diese Eigenschaft liegt vielen Anwendungen der Funktionentheorie, z. B. in der Strömungslehre und Elastizitätstheorie, zugrunde (Biholomorph äquivalente Gebiete).

Man nennt eine stetig differenzierbare Abbildung f : G → ℂ eines Gebietes G ⊂ ℂ lokal konform, wenn sie glatte Wege in glatte Wege überführt (dann hat sie lokal eine stetig differenzierbare Umkehrung) und in jedem Punkt von G winkel- und orientierungstreu ist. Man nennt f konform, wenn f lokal konform ist und G bijektiv auf f (G) abbildet. Insbesondere ergeben diese Überlegungen den folgenden Satz:

Eine Abbildung f von Gebieten inist genau dann lokal konform, wenn f lokal biholomorph ist. f ist genau dann konform, wenn f biholomorph ist.

Betrachten wir nun die bijektive Abbildung

\begin{eqnarray}F:\hat{{\mathbb{C}}}-\{0\}\to {\mathbb{C}},F(z)=\frac{1}{z}\mathrm{für}z\ne \infty ,F(\infty )=0.\end{eqnarray}

Sie ist umkehrbar stetig und bildet ℂ, — {0} biholomorph auf sich ab. Ist U ein Bereich mit 0, ∞ ∉ U, so ist eine Funktion f : U → ℂ genau dann holomorph, wenn

\begin{eqnarray}f\circ {F}^{-1}:w\mapsto f(\frac{1}{w})\end{eqnarray}

holomorph auf F(U) ist. Es liegen daher folgende Definitionen nahe:

Sei U eine offene Teilmenge von \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Eine Funktion \(f:U\to \hat{{\mathbb{C}}}\) heißt holomorph (meromorph), wenn f auf U — {∞} und f ° F–1 auf F(U — {0}) holomorph (meromorph) ist.

Es seien G und G* Gebiete in \(\hat{{\mathbb{C}}}\). Eine holomorphe Abbildung f von G auf G* ist eine auf G definierte meromorphe Funktion f mit f (G) = G*. Für Gebiete in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) werden die Worte „holomorphe Abbildung“ und „holomorphe Funktion“ also nicht mehr synonym verwendet; eine „holomorphe Abbildung“ f : GG* ist genau dann eine holomorphe Funktion, wenn ∞ ∉ f (G) = G*.

Ist f : GG* eine bijektive holomorphe Abbildung, so ist die Umkehrabbildung f–1 : G* → G wieder holomorph. Solche Abbildungen werden daher biholomorph oder auch konform genannt.

Gibt es zu zwei Gebieten G und G* in \(\hat{{\mathbb{C}}}\) eine konforme Abbildung f : GG*, so heißen G und G* biholomorph äquivalent.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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