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Lexikon der Mathematik: binäre quadratische Form

ein homogenes Polynom

\begin{eqnarray}f(x,y)=a{x}^{2}+bxy+c{y}^{2}\end{eqnarray}

mit Koeffizienten a, b, c ∈ ℝ oder ℂ.

Speziell in der Zahlentheorie sind ganzzahlige binäre quadratische Formen von Interesse, also Formen vom Typ (1) mit a, b, c ∈ ℤ.

Einzelne Spezialfälle (ganzzahliger) binärer quadratischer Formen wurden von Fermat und Euler behandelt. Durch Beiträge von Lagrange und Gauß, der den quadratischen Formen einen großen Teil seines Buchs „Disquisitiones Arithmeticae“ widmete, entstand eine große und schließlich auch gut strukturierte Theorie. Die Hauptfrage dabei ist, für eine gegebene binäre quadratische Form (1) und eine ganze Zahl n die Lösungen der Gleichung

\begin{eqnarray}a{x}^{2}+bxy+c{y}^{2}=n\end{eqnarray}

zu beschreiben. Ein wichtiger und schon in der Antike behandelter Spezialfall ist die sog. Pellsche Gleichung

\begin{eqnarray}{x}^{2}-D{y}^{2}=n.\end{eqnarray}

Eine binäre quadratische Form (1) heißt primitiv, wenn ggT(a, b, c) = 1 ist. Für ggT(a, b, c) = r > 1 kann man Gleichung (2) durch r dividieren, wodurch man eine zu (2) äquivalente Gleichung mit einer primitiven quadratischen Form erhält.

Man kann eine binäre quadratische Form (1) auch in Matrixschreibweise darstellen:

\begin{eqnarray}f(x,y)=(xy){M}_{f}(x\\ y)\end{eqnarray}

mit der zu f gehörigen Matrix

\begin{eqnarray}{M}_{f}=(a & b/2\\ b/2 & c).\end{eqnarray}

Zwei binäre quadratische Formen f, g nennt man äquivalent (im engeren Sinn), wenn es eine Transformationsmatrix

\begin{eqnarray}T=(\alpha & \beta \\ \gamma & \delta )\end{eqnarray}

mit ganzzahligen Koeffizienten α, β, γ, δ und Determinante 1 gibt, die die zu f und g gehörigen Matrizen ineinander überführt:

\begin{eqnarray}{M}_{g}={T}^{-1}{M}_{f}T.\end{eqnarray}

f, g heißen äquivalent (im weiteren Sinn), wenn nur | det T| = 1 und

\begin{eqnarray}{M}_{g}=(\text{det}T){T}^{-1}{M}_{f}T\end{eqnarray}

gefordert wird. Da eine Transformation mit einer Matrix T den ggT der Koeffizienten nicht verändert, sind äquivalente quadratische Formen entweder beide primitv oder beide nicht primitiv.

Die Diskriminante einer binären quadratischen Form (1) ist definiert durch D = b2 − 4ac; man rechnet leicht nach, daß äquivalente binäre quadratische Formen die gleiche Diskriminante haben.

Es kommt vor, daß zwei nicht-äquivalente quadratische Formen die gleiche Diskriminante besitzen. Man kann jedoch beweisen, daß es zu einer gegebenen Zahl D ∈ ℤ nur endlich viele Äquivalenzklassen binärer quadratischer Formen mit Diskriminante D gibt.

Als Diskriminante einer primitiven binären quadratischen Form können nur die Fälle D = 0, D ≡ 1 mod 4 und quadratfrei und D ≡ 0 mod 4 und D/4 quadratfrei auftreten. Läßt man den Fall D = 0 weg, so kann man die Theorie auf sog. Grundzahlen beschränken, d. h. auf ganze Zahlen D ≠ 0, die entweder ≡ 1 mod 4 und quadratfrei oder das Vierfache einer quadratfreien Zahl sind.

Die Theorie binärer quadratischer Formen mit einer Grundzahl D als Diskriminante ist äquivalent zur Theorie der Ideale im quadratischen Zahlkörper \({\mathbb{Q}}(\sqrt{D})\). Das Problem der Bestimmung der Anzahl der Äquivalenzklassen binärer quadratischer Formen zu einer gegebenen Grundzahl D als Diskriminante, also das Problem der Bestimmung der Klassenzahl h(D), führt zu den Klassenzahlformeln.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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