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Lexikon der Mathematik: Binomialkoeffizient

die Anzahl der i-elementigen Untermengen einer n-elementigen Menge, üblicherweise mit

\begin{eqnarray}(n\\ i)\end{eqnarray}

bezeichnet.

Die Binomialkoeffizienten treten in der Binomialreihe mit positiv ganzzahligem Index als Koeffizienten auf, woher auch ihr Name stammt.

Eine zweite Deutung der Binomialkoeffizienten ist die folgende.

Sei N eine n-elementige Menge. Man assoziiert zu jeder Untermenge AN die charakteristische Funktion fA : N → {0, 1},

\begin{eqnarray}{f}_{A}(a)=\{1\text{falls}a\in A,\\ 0\text{falls}a\notin A.\end{eqnarray}

Bei der Bijektion AfA entsprechen die i-elementigen Untermengen A von N den charakteristischen Funktionen fA mit \(|{f}_{A}^{-1}(1)|=i\).\((n\\ i)\)

ist somit gerade die Anzahl der charakteristischen Funktionen fA mit \(|{f}_{A}^{-1}(1)|=i\).

Die Binomialkoeffizienten erfüllen eine große Zahl von Identitäten, beispielsweise

\begin{eqnarray}(n\\ i)=\frac{n!}{i!(n-i)!}(n\\ i)=(n\\ n-i),\\ \displaystyle \sum _{i=0}^{n}(n\\ i)={2}^{n},\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{(-1)}^{i}(n\\ i)=0,\end{eqnarray}

und es gilt das Additionstheorem

\begin{eqnarray}(n\\ i)+(n\\ i+1)=(n+1\\ i+1).\end{eqnarray}

Eine Verallgemeinerung der Binomialkoeffizienten bilden die Multinomialkoeffizienten.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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