die Anzahl der i-elementigen Untermengen einer n-elementigen Menge, üblicherweise mit

\begin{eqnarray}(n\\ i)\end{eqnarray}

Die Binomialkoeffizienten treten in der Binomialreihe mit positiv ganzzahligem Index als Koeffizienten auf, woher auch ihr Name stammt.

Eine zweite Deutung der Binomialkoeffizienten ist die folgende.

Sei N eine n-elementige Menge. Man assoziiert zu jeder Untermenge A ⊆ N die charakteristische Funktion f_A : N → {0, 1},

\begin{eqnarray}{f}_{A}(a)=\{1\text{falls}a\in A,\\ 0\text{falls}a\notin A.\end{eqnarray}

ist somit gerade die Anzahl der charakteristischen Funktionen f_A mit \(|{f}_{A}^{-1}(1)|=i\).

Die Binomialkoeffizienten erfüllen eine große Zahl von Identitäten, beispielsweise

\begin{eqnarray}(n\\ i)=\frac{n!}{i!(n-i)!}(n\\ i)=(n\\ n-i),\\ \displaystyle \sum _{i=0}^{n}(n\\ i)={2}^{n},\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{(-1)}^{i}(n\\ i)=0,\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}(n\\ i)+(n\\ i+1)=(n+1\\ i+1).\end{eqnarray}