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Lexikon der Mathematik: binomische Ungleichung

die Ungleichung

\begin{eqnarray}|xy|\le \frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})\end{eqnarray}

für alle reelle Zahlen x, y, die man z. B. aus der Beziehung

\begin{eqnarray}xy=\frac{1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})-\frac{1}{2}{(x-y)}^{2}\end{eqnarray}

erhält, da (xy)2 ≥ 0.

Die binomische Ungleichung ist ein Spezialfall der Young-Ungleichung

\begin{eqnarray}|xy|\le \frac{{|x|}^{p}}{p}+\frac{{|y|}^{q}}{q}\end{eqnarray}

für p, q > 1 mit \(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\).

Aus der binomischen Ungleichung ergibt sich die Ungleichung

\begin{eqnarray}\sqrt{xy}\le \frac{x+y}{2}\end{eqnarray}

zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel von x, y > 0.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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