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Lexikon der Mathematik: biorthogonale Waveletbasen

Verallgemeinerung orthogonaler Waveletbasen beispielsweise im Hilbertraum L2(ℝ).

Ausgehend von zwei Multiskalenzerlegungen des L2(ℝ) werden zwei Familien von Wavelets \({\{{\psi }_{j,k}\}}_{j,k\in {\mathbb{Z}}},{\{{\tilde{\psi }}_{j,k}\}}_{j,k\in {\mathbb{Z}}}\) mit

\begin{eqnarray}{\psi }_{j,k}:={2}^{j/2}\psi ({2}^{j}\cdot -k)\end{eqnarray}

und

\begin{eqnarray}{\tilde{\psi }}_{j,k}:={2}^{j/2}\tilde{\psi }({2}^{j}\cdot -k)\end{eqnarray}

so konstruiert, daß folgende Biorthogonalitätsbedingung erfüllt ist: \(\langle {\psi }_{j,k,},\text{\hspace{0.17em}}{\tilde{\psi }}_{{j}^{^{\prime} },{k}^{^{\prime} }}\rangle ={\delta }_{j{j}^{^{\prime} }}\delta k{k}^{^{\prime} }\). Weiterhin ist jede Funktion fL2(ℝ) darstellbar als

\begin{eqnarray}f & = & \displaystyle \sum _{j\in {\mathbb{Z}}}\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}\langle f,{\tilde{\psi }}_{j,k}\rangle {\tilde{\psi }}_{j,k}\\ & = & \displaystyle \sum _{j\in {\mathbb{Z}}}\displaystyle \sum _{k\in {\mathbb{Z}}}\langle f,{\psi }_{j,k}\rangle {\tilde{\psi }}_{j,k}.\end{eqnarray}

Der Vorteil biorthogonaler Waveletbasen besteht in der Flexibilität bei der Wahl der Filter. Diese können auf vielerlei Art so gewählt werden, daß exakte Rekonstruktion möglich ist und die Wavelet-Basis eine Rieszbasis bildet. Auch die Konstruktion symmetrischer oder an Differentialoperatoren angepaßter Waveletbasen ist in diesem Rahmen möglich.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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