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Lexikon der Mathematik: birationale Abbildung

zentraler Begriff in der algebraischen Geometrie.

Seien M und N algebraische Varietäten. Eine rationale Abbildung f : MN heißt birational, wenn es eine rationale Abbildung g : NM gibt, so daß fg die Identität ist. Zwei algebraische Varitäten heißen birational isomorph oder einfach birational, wenn es zwischen ihnen eine birationale Abbildung gibt. Insbesondere heißt eine Varietät rational, wenn sie birational zum \({{\mathbb{P}}}^{n}\) ist.

Eine rationale Abbildung f : MN ist genau dann birational, wenn für jeden generischen Punkt pN, f-1(p) ein einziger Punkt ist.

Eine birationale Abbildung zwischen Flächen kann man als eine Folge von Aufblasungen und Zusammenblasungen erhalten: Sind M und N algebraische Flächen und f : MN eine birationale Abbildung, dann gibt es eine Fläche \(\tilde{M}\) und Aufblasungs-Abbildungen \({\pi }_{1}:\tilde{M}\to M,{\pi }_{2}:\tilde{M}\to N\) so, daß \(f={\pi }_{2}\circ {\pi }_{1}^{-1}\).

[1] Griffiths,P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. Pure & Applied Mathematics John Wiley & Sons New York/Toronto, 1978.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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