Lexikon der Mathematik: Birkhoff-Interpolation
Interpolationsproblem, das in gewissem Sinne als Verallgemeinerung der Hermite-Interpolation angesehen werden kann.
Das Problem der Birkhoff-Interpolation wurde erstmalig von Birkhoff im Jahr 1906 für Polynomräume behandelt. Diese Theorie wurde lange Zeit in Mathematikerkreisen eher wenig beachtet, bis sich im Jahr 1966 Schoenberg ihrer von neuem annahm.
Seither wurden die Theorie der Birkhoff-Inter-polation kontinuierlich weiterentwickelt. Nach dem heutigen Stand der Forschung ist die BirkhoffInterpolation für Polynome weitgehend vollständig entwickelt, während für allgemeinere, endlichdimensionale Räume (beispielsweise Splineräume) noch eine Reihe offener Fragen bestehen.
Das Problem der Birkhoff-Interpolation ist wie folgt definiert.
Es sei G = {g0, g1, …, gN} ein System von N + 1 linear unabhängigen, n-mal stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen, definiert auf einem Intervall [a, b] oder einem Kreis T.
Die Matrix
\begin{eqnarray}E={(({e}_{i,k}))}_{i=1}^{m}{\hspace{0.25em}}_{k=0}^{n},\hspace{0.25em}m\ge 1,n\ge 0,\end{eqnarray}
heißt Interpolationsmatrix, falls \({e}_{i,k}\in \{0,1\}\) und\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{i,k}{e}_{i,k}=N+1\end{eqnarray}
gelten. Die Interpolationsmatrix E heißt normal, falls \(n=N\) gilt.Eine Knotenmenge \(X=\{{x}_{1}\lt \cdots \lt {x}_{m}\}\) besteht aus m verschiedenen Punkten aus [a, b] beziehungsweise T.
Das Birkhoff-Interpolationsproblem hinsichtlich G, E und X besteht nun darin, für beliebig vorgegebene Daten ci,k (definiert für alle i, k mit ei,k = 1) eine eindeutige Funktion g ∈ G mit den Eigenschaften
\begin{eqnarray}{g}^{(k)}({x}_{i})={c}_{i,k},\hspace{0.25em}{e}_{i,k}=1,\end{eqnarray}
zu finden. In diesem Fall heißt das Paar (E, X) regulär.Wählt man m = N + 1 und n = 0, so erhält man als Spezialfall das Problem der LagrangeInterpolation hinsichtlich G und X.
Ist \({e}_{i,k}=1,k=0,\ldots {r}_{i}\), und \({e}_{i,k}=0,k\ge {r}_{i}+1\), so handelt es sich um das das Problem der Hermite-Interpolation hinsichtlich G und X.
Die allgemeine Birkhoff-Interpolation kann man somit grob gesprochen als ein Hermite-Interpolationsproblem bezeichnen, bei dem gewisse Lücken in den Ableitungen auftreten.
Für die Untersuchung der Lösbarkeit des Birk-hoff-Interpolationsproblem spielt die sogenannte Polya-Bedingung eine bedeutende Rolle. Diese lautet:
\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k=0}^{r}\displaystyle \sum _{i=1}^{m}{e}_{i,k}\ge r+1,\,r=0,\ldots, n.\end{eqnarray}
Sie ist beispielsweise für polynomiale Birkhoff-Interpolation, das heißt im Falle
\begin{eqnarray}G=\{1,x,\ldots, {x}^{N}\},\end{eqnarray}
unbedingt notwendig. Im Fall polynomialer Birkhoff-Interpolation kann man davon ausgehen, daß die zugehörige Interpolationsmatrix E normal ist.Um die Lösbarkeit des Birkhoff-Interpolations-problems zu gewährleisten, benötigt man im allgemeinen neben der Polya-Bedingung noch weitere Vorausetzungen. Wir geben hier ein Beispiel an.
Es sei hierzu
\begin{eqnarray}1\,1\,1\,0\,0\,1\,1\,0\,1\,0\,0\end{eqnarray}
eine der Zeilen von E. Diese Zeile enthält drei Abschnitte von Einsen. Zwei dieser Abschnitte sind ungerade (das heißt sie enthalten eine ungerade Anzahl von Elementen), und einer ist gerade.Ein in der k-ten Spalte beginnender Abschnitt in der i-ten Reihe von E heißt supported, falls Indizes \({i}_{1}\lt i\lt {i}_{2},{k}_{1}\lt k,{k}_{2}\lt k\) existieren, so daß
\begin{eqnarray}{e}_{{i}_{1},{k}_{1}}={e}_{{i}_{2},{k}_{2}}=1.\end{eqnarray}
Es gilt nun der folgende Satz von Atkinson und Sharma:
Ein vorgegebenes polynomiales Birkhoff-Interpolationsproblem (E, X) ist regulär, falls die zugehörige normale Interpolationsmatrix die Polya-Bedingung erfüllt und keine ungeraden Abschnitte enthält, die supported sind.
[1] Lorentz, G. G.; Jetter, K.; Riemenschneider, S. D.: Birkhoff Interpolation. Addison-Wesley Publishing Company Reading, 1983.
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