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Lexikon der Mathematik: Birkhoff-Theorem

mathematische Beschreibung der Tatsache, daß es im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie keine gravitativen Monopole, d. h. keine kugelsymmetrischen Gravitationswellen gibt.

Das Theorem ist in allen Gravitationstheorien gültig, die keine Spin-0-Teilchen enthalten. Für die Formulierung des Theorems gibt es in der Literatur verschiedene Varianten: Manchmal bezeichnet dieses Theorem konkret die Herleitung der Einzigkeit der Schwarzschildschen Lösung, zuweilen bezeichnet man als Birkhoff-Theorem aber auch abstrakt die Aussage, daß jede kugelsymmetrische Vakuumlösung der Gravitationsfeldgleichungen noch mindestens eine weitere (zunächst nicht vermutete) Symmetrie besitzt.

Die Einsteinschen Vakuumgleichungen für ein kugelsymmetrisches Gravitationsfeld lassen sich in geschlossener Form lösen. Die Lösung ist die sog. Schwarzschildsche Metrik

\begin{eqnarray}d{s}^{2}=(1-\frac{2m}{r})d{t}^{2}-\frac{d{r}^{2}}{1-\frac{2m}{r}}-{r}^{2}(d{\psi }^{2}+{\sin }^{2}\psi d{\phi }^{2})\end{eqnarray}

und hängt nur von einem Parameter, nämlich m, der als Masse interpretiert wird, ab.

Das Bemerkenswerte daran ist, daß die Lösung eine höhere Symmetrie aufweist als von den Voraussetzungen her erwartet werden sollte: Sie „sollte” von r und t abhängen, in den hier gewählten Koordinaten hängt die Metrik tatsächlich jedoch nicht von der Koordinate t ab, im Bereich r > 2m ist die Schwarzschildsche Metrik also statisch. (Im Bereich r < 2m wechselt der Charakter der Koordinaten: r ist dort zeitartig, t ist raumartig, die zusätzliche Symmetrie führt in diesem Bereich also nicht dazu, daß das Gravitationsfeld statisch wird, sondern daß eine räumliche Translation als zusätzliche Isometrie auftritt.)

Die Beweisidee ist die folgende: Da Kugelsymmetrie vorausgesetzt wird, können die Winkelkoordinaten durch Dimensionsreduzierung entfernt werden. Dann reduziert sich die Einsteinsche Vakuumfeldgleichung auf eine Tensorgleichung in zwei Dimensionen (in oben gewählten Koordinaten ist das der (r, t)-Raum). Im zweidimensionalen Raum verschwindet der spurfreie Anteil des Riccitensors identisch, so daß man orthogonal zum Gradienten der Gaußschen Krümmung eine zusätzliche Isometrie erhält.

Das Birkhoff-Theorem wurde zwar von Jebsen im Jahre 1921 gefunden, jedoch von Birkhoff und Langer im Jahre 1923 erstmals streng bewiesen.

Inzwischen hat es eine ganze Reihe von Verallgemeinerungen erfahren: Es bleibt auch gültig, wenn bestimmte Arten von Materie hinzukommen, und auch, wenn Kugelsymmetrie durch Ebenensymmetrie ersetzt wird. Es ist auch bei beliebiger Dimension der Raum-Zeit (wie etwa dem fünf-dimensionalen Modell von Kaluza und Klein) gültig.

In einer Gravitationstheorie mit massiven Spin-0-Teilchen (z. B. der Weylschen Theorie) ist das Birkhoff-Theorem dagegen nicht gültig.

Aus dem Birkhoff-Theorem folgt: Das Gravitationsfeld außerhalb einer kugelsymmetrischen Materieverteilung hängt lediglich von deren Gesamtmasse ab, nicht aber von der Art der Massenverteilung im Innern. Selbst eine zeitabhängige Massenverteilung (z. B. radiale Oszillationen eines Sterns) führt zu einem zeitunabhängigen Außenfeld.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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