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Lexikon der Mathematik: Blaschke, Konvergenzsatz von

Aussage über die kompakte Konvergenz einer Funktionenfolge. Der Satz lautet:

Es sei (fn) eine beschränkte Folge holomorpher Funktionen \({f}_{n}:{\mathbb{E}}\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\to {\mathbb{C}}\), d. h. es existiert eine Konstante M > 0 derart, daß \(|{f}_{n}(z)|\le M\)für alle \(z\in {\mathbb{E}}\)und alle n ∈ ℕ. Weiter sei \(A=\{{a}_{j}:j\in {\mathbb{N}}\}\)eine abzählbare Teilmenge von \({\mathbb{E}}\)mit

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(1-|{a}_{j}|)=\infty \end{eqnarray}

derart, daß der Grenzwert \(\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{n\to \infty }{f}_{n}({\alpha }_{j})\in {\mathbb{C}}\)für jedes \(j\in {\mathbb{N}}\)existiert.

Dann ist die Folge (fn) kompakt konvergent in \({\mathbb{E}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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