Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Blaschke-Produkt

ein endliches oder unendliches Produkt der Form

\begin{eqnarray}B(z)={e}^{i\varphi }{z}^{k}\displaystyle \prod _{j=1}^{n}\frac{z-aj}{1-{\bar{a}}_{j}z}\end{eqnarray}

oder

\begin{eqnarray}B(z)={e}^{i\varphi }{z}^{k}\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\frac{|{a}_{j}|}{{a}_{j}}\frac{aj-z}{1-{\bar{a}}_{j}z},\end{eqnarray}

wobei \(\varphi \in {\mathbb{R}},k\), n ∈ ℕ0 und \(0\lt |{a}_{j}|\lt 1\). Dabei müssen die Zahlen aj nicht notwendig paarweise verschieden sein.

Ein unendliches Blaschke-Produkt ist konvergent genau dann, wenn die sog. Blaschke-Bedingung

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }(1-|{a}_{j}|)\lt \infty \end{eqnarray}

erfüllt ist, was im folgenden stets vorausgesetzt wird. Insbesondere dürfen also nur je endlich viele der Zahlen aj gleich sein.

Jedes Blaschke-Produkt definiert eine in \({\mathbb{E}}=\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\lt 1\}\) holomorphe Funktion B mit der Eigenschaft |B(z)| < 1 für alle \(z\in {\mathbb{E}}\).

Die Nullstellen von B sind z0 = 0 (sofern k ≥ 1) und zj = aj. Für die Nullstellenordnung o(B, zj) gilt o(B, 0) = k, und o(B, a) ergibt sich aus der Anzahl der Zahlen a, die in der Folge (aj) vorkommen.

Umgekehrt ist jede in \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktion f mit \(|f(z)|\lt 1\) für \(z\in {\mathbb{E}}\) durch ein Blaschke-Produkt darstellbar.

Endliche Blaschke-Produkte B sind rationale Funktionen mit \(|B(z)|\lt 1\) für \(|z|\lt 1\), |B(z)| = 1 für |z| = 1 und \(|B(z)|=1\) für |z| > 1. Insbesondere ist für jedes \(a\in {\mathbb{Z}}\) die Urbildmenge \(\{z\in {\mathbb{E}}:B(z)=a\}\) endlich.

Umgekehrt gilt: Ist \(f:{\mathbb{E}}\to {\mathbb{E}}\) eine holomorphe Funktion derart, daß für jedes \(a\in {\mathbb{E}}\) die Urbildmenge \(\{z\in {\mathbb{E}}:f(z)=a\}\) endlich ist, so ist f ein endliches Blaschke-Produkt.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos