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Lexikon der Mathematik: Bloch-Funktion

eine im offenen Einheitskreis \({\mathbb{E}}\) holomorphe Funktion f mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\Vert f{\Vert }_{ {\mathcal B} }:=\mathop{\sup }\limits_{z\in {\mathbb{E}}}|{f}^{^{\prime} }(z)|(1-|z{|}^{2})\lt \infty.\end{eqnarray}

Die Menge \( {\mathcal B} \) aller Bloch-Funktionen ist ein \({\mathbb{C}}\)-Vektorraum und wird mit der Norm \(|f(0)|+\Vert f{\Vert }_{ {\mathcal B} }\) zu einem Banach-Raum, der dann Bloch-Raum genannt wird.

Für \(f\in {\mathcal B} \) gilt

\begin{eqnarray}|f(0)|+{\Vert f\Vert }_{ {\mathcal B} }\le 2\mathop{\sup }\limits_{z\in {\mathbb{E}}}|f(z)|,\end{eqnarray}

und für \(z\in {\mathbb{E}}\)

\begin{eqnarray}|f(z)-f(0)|\le \frac{1}{2}\parallel f{\parallel }_{ {\mathcal B} }\mathrm{log}\frac{1+|z|}{1-|z|}.\end{eqnarray}

Zum Beispiel ist jede in \({\mathbb{E}}\) holomorphe beschränkte Funktion f eine Bloch-Funktion, und \(f(z)=\mathrm{log}[(1+z)/(1-z)]\) ist ein Beispiel für eine unbeschränkte Funktion in \( {\mathcal B} \). Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Bloch-Funktionen und schlichten Funktionen in \({\mathbb{E}}\). Es gilt:

Ist f eine in \({\mathbb{E}}\)schlichte Funktion und \(a\notin f({\mathbb{E}})\), so gilt \(\mathrm{log}(f-a)\in {\mathcal B} \)und \(\mathrm{log}{f}^{^{\prime} }\in {\mathcal B} \).

Ist umgekehrt \(g\in {\mathcal B} \)mit \(\Vert g{\Vert }_{ {\mathcal B} }\le 1\), so gilt \(g=\mathrm{log}{f}^{^{\prime} }\)mit einer in \({\mathbb{E}}\)schlichten Funktion f.

Weiter betrachtet man noch den „kleinen Bloch-Raum” \({ {\mathcal B} }_{0}\) aller in \({\mathbb{E}}\) holomorphen Funktionen f mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{|z|\to 1}|{f}^{^{\prime} }(z)|(1-{|z|}^{2})=0.\end{eqnarray}

Er enthält den Raum aller in \(\bar{{\mathbb{E}}}\) stetigen und in \({\mathbb{E}}\) holomorphen Funktionen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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