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Lexikon der Mathematik: Blochsche Konstante

definiert durch

\begin{eqnarray}B:=\text{inf}\{{B}_{f}:f\in {\mathcal F} \}.\end{eqnarray}

Hier ist \( {\mathcal F} :=\{f]\in {\mathscr{O}}(\bar{{\mathbb{E}}}):{f}^{^{\prime} }(0)=1\}\), und \(f\in {\mathcal F} \) ist \({B}_{f}\) das Supremum der Radien von schlichten Kreisscheiben in \(f({\mathbb{E}})\). Dabei heißt eine Kreisscheibe \(B\subset f({\mathbb{E}})\) schlicht, falls es ein Gebiet \(G\subset {\mathbb{E}}\) gibt, das durch f konform auf B abgebildet wird.

Offensichtlich gilt \(0\le B\le 1\). Bisher (1999) sind nur obere und untere Schranken für B bekannt. Aus dem Satz von Ahlfors folgt

\begin{eqnarray}B\ge \frac{1}{4}\sqrt{3}\approx 0,4330,\end{eqnarray}

während Ahlfors und Grunsky mit sehr komplizierten Methoden

\begin{eqnarray}B\le \frac{\Gamma (\frac{1}{3})\Gamma (\frac{11}{12})}{\sqrt{1+\sqrt{3}}\Gamma (\frac{1}{4})}=\frac{{4}^{3/8}{\pi }^{3/2}}{{3}^{3/8}{(\Gamma (\frac{1}{4}))}^{2}}\approx 0,4718\end{eqnarray}

zeigen konnten. Für den genauen Wert von B besteht die bis heute unbewiesene Vermutung von Ahlfors-Grunsky.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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