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Lexikon der Mathematik: Blockmatrix

eine Matrix A, die in kleinere, Blöcke genannte, Matrizen unterteilbar ist.

Formal kann man das so beschreiben: Es seien \({i}_{1},\ldots, {i}_{n};{j}_{1},\ldots, {j}_{m}\) natürliche Zahlen und für \(\mu =1,\ldots, n\) und \(v=1,\ldots, m{A}_{\mu v}\) eine \(({i}_{\mu }\times {j}_{v})\)-Matrix. Dann ist

\begin{eqnarray}{\mathscr{A}}={({A}_{\mu v})}_{(n,m)}\end{eqnarray}

eine Blockmatrix mit den Blöcken \({A}_{\mu v}\). \({\mathscr{A}}\) ist eine

\begin{eqnarray}(\displaystyle \sum _{\mu =1}^{n}{i}_{\mu }\times \displaystyle \sum _{v=1}^{m}{j}_{v})\mathrm{-Matrix}.\end{eqnarray}

Im Falle \(m=n,{i}_{\mu }={j}_{\mu }\) und \({A}_{\mu v}\) Nullmatrix für μν wird \({\mathscr{A}}\) auch Blockdiagonalmatrix genannt.

Mittels der Unterteilung einer Matrix A in mehrere Blöcke kann die Durchführung bestimmter Operationen u.U. stark erleichtert werden. Beispielsweise lassen sich geeignete Blockmatrizen sehr leicht multiplizieren \(({k}_{v}\in {\mathbb{N}};v=1,\ldots, p)\):

\begin{eqnarray}{({A}_{\mu v})}_{(n,m)}{({B}_{\mu v})}_{(m,p)}={({C}_{\mu v})}_{(n,p)}\end{eqnarray}

mit

\begin{eqnarray}{C}_{\mu v}=\displaystyle \sum _{\varrho =1}^{m}{A}_{\mu \varrho }{B}_{\varrho v}.\end{eqnarray}

(Hierbei ist \({A}_{\mu v}\) eine \(({i}_{\mu }\times {j}_{v})\)-Matrix und \({B}_{\mu v}\) eine \(({j}_{\mu }\times {k}_{v})\)-Matrix).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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