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Lexikon der Mathematik: Blockplan

balanced incomplete block design, eine Inzidenzstruktur \((, {\mathcal B}, I)\) aus Punkten und Blöcken, die die folgenden Axiome erfüllt:

  • Es gibt genau v Punkte.
  • Jeder Block enthält genau k Punkte.
  • Je t Punkte sind in genau λ Blöcken enthalten. Hierbei sind t, v, k, λ natürliche Zahlen. Man bezeichnet eine solche Inzidenzstruktur auch als t-(v, k, λ)-Blockplan.

Ist t′ < t, so ist jeder t-(v, k, λ)-Blockplan gleichzeitig auch ein t′-(v, k, λ′)-Blockplan für ein geeignetes λ′.

Blockpläne existieren für alle Werte von t, sind aber für \(t\ge 4\) sehr selten. Am wichtigsten ist der Fall t = 2, in dem jedes Paar von Punkten in genau λ Blöcken enthalten ist.

Ist \((, {\mathcal B}, I)\) ein 2-(v, k, λ)-Blockplan, so ist jeder Punkt von \({\mathscr{P}}\) in genau r Geraden enthalten, wobei

\begin{eqnarray}\lambda (v-1)=r(k-1)\end{eqnarray}

gilt. Für die Anzahl b der Blöcke gilt vr = bk. Ferner gilt die Fisher-Ungleichung bv bzw. rk.

Ist b = v, so heißt der Blockplan symmetrisch. Beispiele symmetrischer Blockpläne sind die endlichen projektiven Ebenen. Eine projektive Ebene der Ordnung q ist das gleiche wie ein (symmetrischer) \(2-({q}^{2}+q+1,q+1,1)\)-Blockplan. Auch die Inzidenzstruktur aus Punkten und Hyperebenen eines projektiven Raumes ist ein symmetrischer Blockplan.

Eine Partition \( {\mathcal B} =\displaystyle {\cup }_{i}{ {\mathcal B} }_{i}\) der Blockmenge mit der Eigenschaft, daß jedes \({ {\mathcal B} }_{i}\) eine Partition der Punktmenge ist, heißt Parallelismus. Ein Blockplan heißt auflösbar, falls er einen Parallelismus besitzt.

Beispiele auflösbarer Blockpläne sind die endlichen affinen Ebenen. Eine affine Ebene der Ordnung q ist ein \(2-({q}^{2},q,1)\)-Blockplan. Einen Parallelismus erhält man, indem man als \({ {\mathcal B} }_{i}\) die Parallelenklassen von Geraden wählt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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