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Lexikon der Mathematik: Blumenthalsches Null-Eins-Gesetz

folgender Satz, der z. B. in der stochastischen Potentialtheorie von Bedeutung ist.

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\)sei ein der Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) in \({\mathfrak{A}}\) adaptierter, zeitlich homogener Markow-Prozeß (Xt)t≥0mit Zustandsraum \(({{\mathbb{R}}}^{d},{\mathfrak{B}}({{\mathbb{R}}}^{d}))\)und rechtsstetigen Pfaden gegeben, der in \({x}_{0}\in {{\mathbb{R}}}^{d}\)startet. Die Übergangswahrscheinlichkeiten P(t, x, A) mögen die Eigenschaft besitzen, daß die Abbildung

\begin{eqnarray}x\to \displaystyle {\int }_{{{\mathbb{R}}}^{d}}\phi (y)P(t,x,dy)\end{eqnarray}

für jede stetige und beschränkte Funktion φ stetig ist. Für alle

\begin{eqnarray}D\in \displaystyle \mathop{\cap }\limits_{{}_{t\gt 0}}{\bar{{\mathfrak{A}}}}_{t}^{X}\end{eqnarray}

gilt dann \(P(D)=0\)oder \(P(D)=1\), wobei \({\bar{{\mathfrak{A}}}}_{t}^{X}\)für jedes t > 0 die Vervollständigung des Elements \({{\mathfrak{A}}}_{t}^{X}\)der kanonischen Filtration \({({{\mathfrak{A}}}_{t}^{X})}_{t\ge 0}\)bezeichnet.

Ein Beispiel für einen Prozeß, der die Voraussetzungen des Satzes erfüllt, ist eine standardisierte Brownsche Bewegung.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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