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Lexikon der Mathematik: BMO-Raum

John-Nirenberg-Raum, der im folgenden definierte Funktionenraum.

Für eine lokal integrierbare Funktion \(f:{{\mathbb{R}}}^{d}\to {\mathbb{C}}\) und eine kompakte Menge \(C\subset {{\mathbb{R}}}^{d}\) mit Lebesgue Maß \(|C|\) setze man

\begin{eqnarray}{f}_{C}=|C{|}^{-1}\displaystyle {\int }_{C}f(x)dx.\end{eqnarray}

f hat dann beschränkte mittlere Oszillation, wenn

\begin{eqnarray}\Vert f{\Vert }_{\text{BMO}}:={\text{sup}}_{Q}\frac{1}{|Q|}\displaystyle {\int }_{Q}|f(x)-f(Q)|dx\lt \infty ;\end{eqnarray}

das Supremum erstreckt sich hierbei über alle Würfel mit achsenparallelen Seiten \(Q\subset {{\mathbb{R}}}^{d}.\) BMO ist der Raum aller solchen Funktionen, und \(\Vert .{\Vert }_{\text{BMO}}\) ist eine Halbnorm, so daß \((\text{BMO},\Vert .{\Vert }_{\text{BMO}})\) vollständig ist. Etwas ungenau spricht man von dem Banachraum BMO; eigentlich müßte man den Kern dieser Halbnorm, das sind alle konstanten Funktionen, herausfaktorisieren. Offensichtlich gehört jede \({L}^{\infty }\)-Funktion zu BMO, und \(\mathrm{log}|x|\) definiert ein Beispiel einer unbeschränkten BMO-Funktion.

Ist \(p\gt 0\), so liegt eine BMO-Funktion lokal in \({L}^{p}({{\mathbb{R}}}^{d})\), und

\begin{eqnarray}\Vert f{\Vert }_{p,\text{BMO}}:=\mathop{\text{sup}}\limits_{Q}{(\frac{1}{|Q|}\displaystyle {\int }_{Q}{|f(x)-{f}_{Q}|}^{p}dx)}^{1/p}\end{eqnarray}

definiert eine äquivalente Norm auf BMO (Quasinorm für \(p\lt 1\)). Genauer gilt die John-Nirenberg-Ungleichung, wonach Konstanten \({c}_{1},{c}_{2}\gt 0\) mit

\begin{eqnarray}\mathop{\text{sup}}\limits_{Q}\frac{|\{x\in Q:|f(x)-{f}_{Q}|\gt \alpha \}|}{|Q|}\\ \le {c}_{1}\exp (-{c}_{2}\alpha /|f{|}_{\text{BMO}})\text{\hspace{1em}\hspace{1em}}{\forall }_{\alpha }\gt 0\end{eqnarray}

existieren.

Der Raum BMO ist der Dualraum des Hardy-Raums \({H}^{1}({{\mathbb{R}}}^{d})\) von Stein und Weiss (Hardy-Raum). Ähnlich wie \({H}^{1}({{\mathbb{R}}}^{d})\) häufig an die Stelle von \({L}^{1}({{\mathbb{R}}}^{d})\) tritt, etwa bei Stetigkeitsfragen singulärer Integraloperatoren, ist BMO häufig ein Substitut für \({L}^{\infty }({{\mathbb{R}}}^{d})\).

[1] Stein, E. M.: Harmonic Analysis. Princeton University Press, 1993.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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