Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Bochner, Satz von

Aussage über die Existenz einer Verallgemeinerung der Fourier-Transformation auf abelschen Gruppen.

Sei G eine Gruppe, \(f:G\to {\mathbb{C}}\) eine Funktion auf G. Ist G diskret, so heißt f positiv definit auf G, wenn für alle \(n\lt \infty \), alle \({x}_{j}\in G,j=1,\ldots, n\) und alle \({\xi }_{j}\in {\mathbb{C}}\) die Ungleichung

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j,k=1}^{n}f({x}_{j}^{-1}{x}_{k}){\xi }_{j}{\bar{\xi }}_{k}\ge 0\end{eqnarray}

erfüllt ist. Ist G eine kontinuierliche topologische Gruppe und lokal kompakt, so heißt f positiv definit, wenn f bezüglich des Haar-Maßes μ von G meßbar ist und weiterhin

\begin{eqnarray}\displaystyle \iint f({g}^{-1}h)\chi (h)\overline{\chi (g)}d\mu (g)d\mu (h)\ge 0\end{eqnarray}

für alle stetigen Funktionen \(\chi :G\to {\mathbb{C}}\) mit kompaktem Träger gilt.

Der Satz von Bochner besagt, daß jede stetige positiv definite Funktion f auf einer abelschen Gruppe G in der folgenden Form geschrieben werden kann:

\begin{eqnarray}f(g)=\displaystyle {\int }_{\hat{G}}\gamma (g)d\varrho (\gamma ).\end{eqnarray}

Hierbei ist ϱ das eindeutig gegebene positive beschränkte Radon-Maß auf der Charaktergruppe Ĝ von G.

Eine Anwendung des Satzes von Bochner auf die Gruppe \(G={\mathbb{R}}\) führt zur Fourier-Stieltjes-Transformation: Ist f eine positiv definite meßbare Funktion auf ℝ, d. h. ist

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j,k=1}^{n}f({x}_{j}-{x}_{k}){\xi }_{j}\bar{{\xi }_{k}}\ge 0\end{eqnarray}

für alle endlichen n und \({x}_{j}\in {\mathbb{R}}\), \({\xi }_{j}\in {\mathbb{C}}\) beliebig, so existiert eine monoton steigende reellwertige beschränkte Funktion α auf ℝ so, daß

\begin{eqnarray}f(x)=\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{itx}d\alpha (t)\end{eqnarray}

für fast alle x gilt. Ist α(−∞) = 0 und α rechtsstetig, dann ist α sogar eindeutig.

Ist umgekehrt α nicht fallend und beschränkt, so ist hierdurch die Fourier-Stieltjes-Transformierte f von α definiert. Dann ist f stetig und positiv definit.

[1] Hewitt,E.; Ross, KA.: Abstract harmonic analysis. Springer, 1970.
[2] Rudin, W.: Fourier Analysis on Groups. Interscience, 1962.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos