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Lexikon der Mathematik: Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingungen

für ein separierbares mechanisches System mit f Freiheitsgraden formal die f Bedingungen

\begin{eqnarray}{I}_{i}=\displaystyle \oint {p}_{i}d{q}^{i}={n}_{i}h\end{eqnarray}

(mit \({n}_{i}=0,\pm 1,\pm 2,\ldots \) je nach positivem oder negativem Wert des Integrals), wobei die kanonisch konjugierten Variablen \({p}_{i},{q}^{i}\) so zu wählen sind, daß \({p}_{i}\) nur von \({q}^{i}\) abhängt. Zu integrieren ist über einen Umlauf im Phasenraum.

Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung ist eine Ausdehnung der Planckschen Bedingung für den eindimensionalen harmonischen Oszillator. Für eine zyklische Lagekoordinate (die zugehörige Impulskoordinate hängt nicht von ihr ab) ist die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung zu modifizieren: Beschreibt man die ebene Bewegung eines Elektrons im Feld einer Punktladung, dann ist der Drehwinkel φ eine zyklische Koordinate, und für die zugehörige Impulskoordinate pφ ist die Bedingung \(2\pi {p}_{\phi }=kh\) = kh mit k = 0,1, 2,... zu wählen.

Die Bohr-Sommerfeld-Quantisierungsbedingung wurde in der Zeit aufgestellt, als sich die Quantenmechanik entwickelte und noch vieles probiert wurde, um zu einer Beschreibung der Quantenphänomene zu kommen. Zu der Zeit festigte sich nach Niels Bohr die Auffassung, daß nur eine solche Zahl von Quantenbedingungen zu wählen ist, die zur Festlegung der Energie ausreicht. In der heutigen Fassung der Quantenmechanik ergeben sich ganzzahlige Vielfache bestimmter Werte als Eigenwerte von Observablen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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