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Lexikon der Mathematik: Bolzano-Kurve

1834 von Bolzano gefundenes, historisch erstes Beispiel einer nirgends differenzierbaren stetigen Funktion.

Man erhält sie als Grenzfunktion einer rekursiv definierten Folge stetiger Funktionen \({f}_{n}:[0,1]\to {\mathbb{R}}\) in folgender Art und Weise:

Es sei \({f}_{0}(x)=x\) für \(x\in [0,1]\). Dann bekommt man fn aus fn−1, indem man jeden linearen Abschnitt von fn−1 halbiert und jede der Hälften durch zwei lineare Stücke mit doppelter Steigung, also jede „Zacke” von fn−1 durch vier kleinere, doppelt so steile Zacken ersetzt. Man vergleiche hierzu die Abbildung.

Es gilt

\begin{eqnarray}0\le {f}_{n}-{f}_{n-1}\le {(\frac{3}{4})}^{n}\end{eqnarray}

für alle n ∈ ℕ, also

\begin{eqnarray}{f}_{n}={f}_{0}+\displaystyle \sum _{v=1}^{n}({f}_{v}-{f}_{v-1})\le \displaystyle \sum _{v=0}^{\infty }{(\frac{3}{4})}^{v}=4,\end{eqnarray}

Die Folge (fn) konvergiert also isoton gleichmäßig gegen eine nach dem Satz von Weierstraß stetige Funktion \(f:[0,1]\to {\mathbb{R}}\). Diese ist nirgends differenzierbar, da die (stückweise definierten) Ableitungen der Funktionen fn für n → ∞ unbeschränkt wachsen.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Bombieri, Enrico
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Bolzano-Kurve

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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