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Lexikon der Mathematik: Bolzano, Zwischenwertsatz von

besagt, daß eine reellwertige stetige Funktion (einer reellen Variablen) alle „Zwischenwerte” annimmt.

Er gehört zu den wichtigsten Sätzen über reell-wertige stetige Funktionen. Der Satz präzisiert und trifft den Kern der oft zu lesenden sehr vagen Beschreibung stetiger Funktionen, daß man diese „ohne abzusetzen zeichnen kann”:

Ist \(f:[a,b]\to {\mathbb{R}}\)stetig, und liegt eine Zahl t zwischen f(a) und f(b), dann existiert ein \(x\in [a,b]\)mit f(x) = t.

Hierbei seien a, b reelle Zahlen mit a < b.

Der Beweis läßt sich – basierend auf der einfachen Idee der fortgesetzten Halbierung des Intervalls – so führen, daß er den Kern für ein konstruktives, leicht zu programmierendes und numerisch brauchbares Verfahren zur Bestimmung vonx, im Spezialfall einer Nullstelle von f, liefert:

Es sei ohne Einschränkung \(f(a)\lt t\lt f(b)\):

Zu a0 := a und b0 := b seien an, bn und cn wie folgt rekursiv definiert:

\({c}_{n}:=\frac{1}{2}({a}_{n}+{b}_{n})\); ist f(cn) = t, so ist man schon fertig. Im anderen Fall setzt man

\begin{eqnarray}{a}_{n+1}:={a}_{n},\,{b}_{n+1}:={c}_{n},\,\mathrm{falls}\text{\hspace{0.17em}}f({c}_{n})\gt t\\ {a}_{n+1}:={c}_{n},\,{b}_{n+1}:={b}_{n},\,\mathrm{falls}\text{\hspace{0.17em}}f({c}_{n})\lt t.\end{eqnarray}

Wenn niemals f(cn) = t auftritt, also das Verfahren nicht schon nach endlich vielen Schritten zu einer Lösung führt, erhält man so monotone Folgen, für die gilt: \({a}_{n}\uparrow x\) und \({b}_{n}\downarrow x\).

Eine weitgehende Verallgemeinerung dieses Satzes ist die Aussage, daß das Bild einer zusammenhängenden Menge unter einer stetigen Abbildung zusammenhängend ist.

Man kann den Zwischenwertsatz von Bolzano beispielsweise verwenden, um die ungefähre Lage von Nullstellen einer stetigen Funktion f zu bestimmen. Hat man durch Einsetzen ermittelt, daß \(f({x}_{1})\gt 0\) und \(f({x}_{2})\lt 0\) gilt, so muß zwischen x1 und x2 eine Nullstelle von f liegen (Bolzano, Nullstellensatz von). Für die praktische Durchführung verwendet man dann beispielsweise den obigen Algorithmus.

[1] Hoffmann, D.: Analysis für Wirtschaftswissenschaftler und Ingenieure. Springer-Verlag Berlin, 1995.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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