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Lexikon der Mathematik: Bompiani, Eindeutigkeitssatz von

Aussage über die Eindeutigkeit der Lösungen von Anfangswertproblemen.

Sei a > 0, I := [x0, x0 + a] ein Intervall, ω : I × [0, ∞) → [0, ∞) eine stetige Abbildung mit ω(x, 0) = 0 und der folgenden Eigenschaft: Ist φ mit φ(x) ≥ 0 eine Lösung des Anfangswertproblems, \({y}^{^{\prime} }=\omega (x,y),y({x}_{0})=0\)im Intervall \([{x}_{0}+{x}_{0}+\varepsilon )\), so ist \(\phi (x)=0\)für alle \(x\in [{x}_{0},{x}_{0}+\varepsilon )\).

Sei weiterhin \(G\subset I\times {{\mathbb{R}}}^{n}\)eine offene Menge, \(({x}_{0},{{\rm{y}}}_{0})\in G,f:G\to {{\mathbb{R}}}^{n}\). Schließlich gelte für alle (x, y1), (x, y2) ∈ G:

\begin{eqnarray}\Vert f(x,{\text{y}}_{1})-f(x,{\text{y}}_{2})\Vert \le \omega (x,\Vert {\text{y}}_{1}-{\text{y}}_{\text{2}}\Vert ).\end{eqnarray}

Dann hat das Anfangswertproblem

\begin{eqnarray}\text{y′}=f(x,\text{y}),\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{\hspace{0.17em}}\text{y}({x}_{0})={\text{y}}_{0}\end{eqnarray}

höchstens eine Lösung. Diese ist stetig abhängig vom Anfangswert (x0, y0) und von der rechten Seite f.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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