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Lexikon der Mathematik: Bonnet, Satz von, über Parallelflächen

die folgende Aussage aus der Differentialgeometrie, zu deren Formulierung man den Begriff der Parallelfläche \({F}_{t}\) einer regulären Fläche \(F\subset {{\mathbb{R}}}^{3}\) benötigt. Diese besteht aus allen Punkten, die zu \( {\mathcal F} \) den senkrechten Abstand t haben. Eine explizite Darstellung Φt(u, v) der Parallelfläche erhält man aus einer Parametergleichung Φt(u, v) von \( {\mathcal F} \) durch

\begin{eqnarray}{\Phi }_{t}(u,\upsilon )=\Phi (u,\upsilon )+t{\mathfrak{n}}(u,\upsilon )\end{eqnarray}

mit Hilfe des Einheitsnormalenvektors \({\mathfrak{n}}(u,\upsilon )\) von \( {\mathcal F} \). Für hinreichend kleine Werte von |t| ist Φt(u, v) regulär. Dann gilt der Satz von Bonnet:

Ist \(F\subset {{\mathbb{R}}}^{3}\)eine Fläche mit konstanter positiver Gaußscher Krümmung \(k={a}^{2}\gt 0\), so haben die Parallelflächen \({F}_{1/a}\)und \({F}_{-1/a}\)im Abstand \(\pm 1/a\)konstante mittlere Krümmung h = a.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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