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Lexikon der Mathematik: Borel-Cantelli, Lemma von

Aussage über die Wahrscheinlichkeit, daß gleichzeitig unendlich viele Ereignisse realisiert werden.

Sei \({({A}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\)eine Folge von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\)und \(A=\{\omega \text{\hspace{0.17em}}\in \Omega :\omega \in {A}_{n}\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\text{\hspace{0.17em}}\text{unendlich}\text{\hspace{0.17em}}\text{viele}\text{\hspace{0.17em}}n\}\).

Dann gilt:

  • Ist \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }P({A}_{n})\lt \infty \), so ist P(A) = 0.
  • Sind die An unabhängig und gilt \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }P({A}_{n})\lt \infty \)P(A) = 1.
  • Wie das Beispiel der durch An := A0 für alle n ∈ ℕ und ein \({A}_{0}\in {\mathfrak{A}}\) mit 0 < P(A)0 < 1 definierten Folge \({({A}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) zeigt, kann in (ii) auf die Voraussetzung der Unabhängigkeit i. allg. nicht verzichtet werden. Die Voraussetzung der Unabhängigkeit kann aber dahingehend abgeschwächt werden, daß man in (ii) nur die paarweise Unabhängigkeit der An fordert. Für unabhängige An sind die Aussagen (i) und (ii) wegen des Borelschen Null-Eins-Gesetzes äquivalent.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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