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Lexikon der Mathematik: Borel-Cantelli-Lévy, Lemma von

Verallgemeinerung des Lemmas von Borel-Cantelli.

Sei \({({A}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\)eine Folge von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\) und \(A=\{\omega \text{\hspace{0.17em}}\in \Omega :\omega \in {A}_{n}\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\text{\hspace{0.17em}}\text{unendlich}\text{\hspace{0.17em}}\text{viele}\text{\hspace{0.17em}}n\}\). Weiterhin sei \({{\mathfrak{A}}}_{0}=\{\varnothing, \Omega \}\)und \({{\mathfrak{A}}}_{n}=\sigma ({A}_{1},\ldots, {A}_{n})\)für n ≥ 1 die von A1, …, An erzeugte σ-Algebra. Dann gilt

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }P(A|{{\mathfrak{A}}}_{n-1})(\omega )\lt \infty \iff \omega \in A\end{eqnarray}

für P-fast alle ω ∈ Ω.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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