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Lexikon der Mathematik: Borelsches Null-Eins-Gesetz

Aussage, nach der unendlich viele Ereignisse einer Folge von unabhängigen Ereignissen mit einer Wahrscheinlichkeit von entweder Null oder Eins gleichzeitig realisiert werden.

Sei \({({A}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\)eine Folge von unabhängigen Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\)und

\begin{eqnarray}A=\{\omega \text{\hspace{0.17em}}\in \Omega :\omega \in {A}_{n}\text{f}\mathop{\text{u}}\limits^{\mathrm{..}}\text{r}\text{\hspace{0.17em}}\text{unendlich}\text{\hspace{0.17em}}\text{viele}\text{\hspace{0.17em}}n\}.\end{eqnarray}

Dann gilt P(A) = 0 oder P(A) = 1.

Für eine Folge \({({A}_{n})}_{n\in {\mathbb{N}}}\) unabhängiger Ereignisse folgt aus dem Borelschen Null-Eins-Gesetz und dem Lemma von Borel-Cantelli, daß P(A) = 0 genau dann gilt, wenn \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }P({A}_{n})\lt \infty \) ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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