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Lexikon der Mathematik: Borwein, Iterationsverfahren von

die von Jonathan Michael Borwein und Peter Benjamin Borwein entwickelten Algorithmen zur schnellen Berechnung von Näherungen zu π.

1984 fanden die Borweins mit Hilfe des Gaußschen arithmetisch-geometrischen Mittels die Iteration

\begin{eqnarray}{\alpha }_{0}=\sqrt{2},\text{\hspace{0.17em}}{\beta }_{0}=0,\text{\hspace{0.17em}},{\pi }_{0}=2+\sqrt{2}\\ {\alpha }_{n+1}=\frac{1}{2}(\sqrt{{\alpha }_{n}}+\frac{1}{\sqrt{{\alpha }_{n}}}),\\ {\beta }_{n+1}=\sqrt{{\alpha }_{n}}\frac{{\beta }_{n}+1}{{\beta }_{n}+{\alpha }_{n}},{\pi }_{n+1}={\pi }_{n}{\beta }_{n+1}\frac{1+{\alpha }_{n+1}}{1+{\beta }_{n+1}},\end{eqnarray}

mit der Eigenschaft πnπ für n → ∞, wobei die Konvergenz quadratisch ist, d. h. die Anzahl der richtigen Stellen sich in jedem Iterationsschritt mindestens verdoppelt. Mit Ideen, die schon auf Srinivasa Ramanujan zurückgehen, konstruierten sie mit Hilfe von Modulfunktionen weitere Iterationsverfahren unterschiedlicher Ordnung. Bei einem Verfahren der Ordnung k wächst die Anzahl der richtigen Stellen bei jedem Iterationsschritt mindestens um den Faktor k. In der Iteration

\begin{eqnarray}{y}_{0}=\frac{1}{\sqrt{2}},\text{\hspace{1em}}\text{\hspace{1em}}{\alpha }_{0}=\frac{1}{2},\\ {y}_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-{y}_{n}^{2}}}{1+\sqrt{1-{y}_{n}^{2}}},\\ {\alpha }_{n+1}={(1+{y}_{n+1})}^{2}{\alpha }_{n}-2\cdot 2{y}_{n+1},\end{eqnarray}

konvergiert \(\frac{1}{{\alpha }_{n}}\) quadratisch gegen π, in

\begin{eqnarray}{y}_{0}=\frac{\sqrt{3}-1}{2},\text{\hspace{1em}}\text{\hspace{1em}}{\alpha }_{0}=\frac{1}{3},\\ {y}_{n+1}=\frac{1-\sqrt[3]{1-{y}_{n}^{3}}}{1+2\sqrt[3]{1-{y}_{n}^{3}}},\\ {\alpha }_{n+1}={(1+2{y}_{n+1})}^{2}{\alpha }_{n}-4\cdot {3}^{n}{y}_{n+1}(1+{y}_{n+1}),\end{eqnarray}

kubisch, und in

\begin{eqnarray}{y}_{0}=\sqrt{2}-1,\text{\hspace{1em}}\text{\hspace{1em}}{\alpha }_{0}=6-4\sqrt{2}\\ {y}_{n+1}=\frac{1-\sqrt[4]{1-{y}_{n}^{4}}}{1+\sqrt[4]{1-{y}_{n}^{4}}},\\ {\alpha }_{n+1}={(1+{y}_{n+1})}^{4}{\alpha }_{n}-8\cdot {4}^{n}(1+{y}_{n+1}+{y}_{n+1}^{2}),\end{eqnarray}

von vierter Ordnung, wobei die ersten drei Näherungswerte

\begin{eqnarray}\frac{1}{{\alpha }_{0}}=2.91421356237309504880168872420\ldots \\ \frac{1}{{\alpha }_{1}}=3.14159264621354228214934443198\ldots \\ \frac{1}{{\alpha }_{2}}=3.14159265358979323846264338327\ldots \end{eqnarray}

lauten. \(\frac{1}{{\alpha }_{1}}\) stimmt dabei in sieben Stellen nach dem Komma mit π überein, \(\frac{1}{{\alpha }_{2}}\) bereits in 40 Stellen. Diese Iteration vierter Ordnung war die Grundlage mehrerer Rekordberechnungen von Dezimalstellen von π mit Computern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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