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Lexikon der Mathematik: Brent-Salamin-Algorithmus zur Berechnung von π

die 1976 von Richard Peirce Brent und Eugene Salamin mit Hilfe des Gaußschen arithmetischgeometrischen Mittels und elliptischer Integrale gefundene Iteration

\begin{eqnarray}{a}_{0}=1,\text{\hspace{1em}}\text{\hspace{1em}}{b}_{0}=\frac{1}{\sqrt{2}},\text{\hspace{1em}}\text{\hspace{1em}}{s}_{0}=\frac{1}{2}\\ {a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}+{b}_{n-1}}{2},\text{\hspace{1em}}\text{\hspace{1em}}{c}_{n}={a}_{n}^{2}-{b}_{n}^{2}\\ {b}_{n}=\sqrt{{a}_{n-1}{b}_{n-1}},\text{\hspace{1em}}{s}_{n}={s}_{n-1}-{2}^{n}{c}_{n}\end{eqnarray}

mit der Eigenschaft \(\frac{2{a}_{n}^{2}}{{s}_{n}}\to \pi \) für n → ∞, wobei die Konvergenz quadratisch ist, d. h. die Anzahl der richtigen Stellen sich mit jedem Iterationsschritt mindestens verdoppelt. Dieser Algorithmus war die Grundlage mehrerer Rekordberechnungen von Dezimalstellen von π mit Computern.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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