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Lexikon der Mathematik: Browder-Göhde-Kirk, Fixpunktsatz von

Aussage über nichtexpandierende Abbildungen:

Sei X ein Banachraum und MX eine schwach kompakte (schwache Topologie) konvexe Teilmenge mit normaler Struktur (d. h. für jede konvexe Menge CM mit diam (C) > 0 existiert ein x0C mit

\begin{eqnarray}\mathop{\text{sup}}\limits_{x\in C}\Vert x-{x}_{0}\Vert \lt \text{diam}(C)).\end{eqnarray}

Ferner sei T : MM nichtexpansiv, d. h.

\begin{eqnarray}\Vert Tx-Ty\Vert \le \Vert x-y\Vert \end{eqnarray}

für alle x, yM. Dann besitzt T einen Fixpunkt.

Ist speziellX ein gleichmäßig konvexer Banachraum, z. B. ein Hilbertraum oder Lp für 1 < p < ∞, so hat jede abgeschlossene beschränkte konvexe Menge M normale Struktur und ist schwach kompakt. In diesem Fall besitzt also jede nichtexpansive Abbildung T : MM einen Fixpunkt.

[1] Goebel, K.; Kirk, W. A.: Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge University Press, 1990.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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