Lexikon der Mathematik: Browder-Göhde-Kirk, Fixpunktsatz von
Aussage über nichtexpandierende Abbildungen:
Sei X ein Banachraum und M ⊂ X eine schwach kompakte (schwache Topologie) konvexe Teilmenge mit normaler Struktur (d. h. für jede konvexe Menge C ⊂ M mit diam (C) > 0 existiert ein x0 ∈ C mit
\begin{eqnarray}\mathop{\text{sup}}\limits_{x\in C}\Vert x-{x}_{0}\Vert \lt \text{diam}(C)).\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}\Vert Tx-Ty\Vert \le \Vert x-y\Vert \end{eqnarray}
für alle x, y ∈ M. Dann besitzt T einen Fixpunkt.Ist speziellX ein gleichmäßig konvexer Banachraum, z. B. ein Hilbertraum oder Lp für 1 < p < ∞, so hat jede abgeschlossene beschränkte konvexe Menge M normale Struktur und ist schwach kompakt. In diesem Fall besitzt also jede nichtexpansive Abbildung T : M → M einen Fixpunkt.
[1] Goebel, K.; Kirk, W. A.: Topics in Metric Fixed Point Theory. Cambridge University Press, 1990.
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