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Lexikon der Mathematik: Brownsche Bewegung

Wienerprozeß, stochastischer Prozeß der im folgenden näher beschriebenen Art.

Ist \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\) ein Wahrscheinlichkeitsraum und \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) eine Filtration in \({\mathfrak{A}}\), dann heißt jeder an \({({{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) adaptierte stochastische Prozeß \({({B}_{t},{{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) mit Zustandsraum \({{\mathbb{R}}}^{d}\) eine d-dimensionale Brownsche Bewegung, wenn er die folgenden zwei Eigenschaften besitzt:

  • Für jede Wahl der Zeitpunkte 0 ≤ s < t ist BtBs von \({{\mathfrak{A}}}_{s}\) unabhängig, und die Verteilung der Differenz BtBs ist das Produktmaß von d Normalverteilungen mit Erwartungswert 0 und Varianz ts.
  • Fast alle Pfade \(t-{B}_{t}(\omega )\) sind stetig.
  • Gilt weiterhin \({B}_{0}\equiv x\), so heißt \({({B}_{t},{{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\) eine Brownsche Bewegung mit Startpunkt x. Im Falle x = 0 spricht man dann auch von einer standardisierten oder normalen Brownschen Bewegung. Eine eindimensionale Brownsche Bewegung wird auch als reelle Brownsche Bewegung bezeichnet.

    Oft wird die d-dimensionale Brownsche Bewegung auch ohne explizite Bezugnahme auf eine Filtration als stochastischer Prozeß \({({B}_{t})}_{t\ge 0}\) mit Zustandsraum \({{\mathbb{R}}}^{d}\) definiert, für den

  • die Zuwächse stationär und unabhängig sind und für alle \(0\le s\lt t\) die Verteilung der Differenz \({B}_{t}-{B}_{s}\) das Produktmaß von d Normalverteilungen mit Erwartungswert 0 und Varianz ts ist,
  • sowie weiterhin die obige Eigenschaft (ii) gilt.

    Der Zusammenhang zwischen beiden Definitionen besteht darin, daß eine Brownsche Bewegung im Sinne der zweiten Definition eine Brownsche Bewegung im Sinne der ersten ist, wenn man als Filtration die kanonische Filtration wählt.

    Eine wichtige Eigenschaft der Pfade einer Brownschen Bewegung ist ihre Nicht-Differenzierbarkeit:

    Es sei \({({B}_{t},{{\mathfrak{A}}}_{t})}_{t\ge 0}\)eine Brownsche Bewegung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \((\Omega, {\mathfrak{A}},P)\).

    Dann ist für P-fast alle \(\omega \in \Omega \)der Pfad \(t\to {B}_{t}(\omega )\)an keiner Stelle differenzierbar.

    Erste Anregungen zum Studium des später nach ihm benannten Prozesses stammen von dem schottischen Botaniker R. Brown, der 1828 die Bewegung von Pollen in Wasser untersuchte. Eine genauere analytische Beschreibung des Prozesses wurde dann im Jahre 1900 im Rahmen ökonomischer Untersuchungen von Bachelier und 1905 von Einstein geleistet. Es folgte 1923 die erste mathematisch umfassende Fundierung der Brownschen Bewegung durch N. Wiener.

    Ein großer Teil der Ergebnisse, die uns heute über die Brownsche Bewegung zur Verfügung stehen, geht auf Arbeiten von Lévy aus den Jahren 1930–1950 zurück.

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    • Die Autoren
    - Prof. Dr. Guido Walz

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